淺析一次函數與一元一次方程和一元一次不等式的關系

馬方方

【摘要】根據初中數學教材的安排，在七年級學生需要了解一元一次方程及其解法，七年級下半學期學生還要學習一元一次不等式相關知識，而在八年級學生要學習一次函數的知識，并在此基礎上了解一次函數的圖像.初中生一般對于這三方面知識學習得比較透徹，但是對于三者之間的聯系，學生知之甚少，在這方面需要教師的指導.教師應該教會學生把這三方面的知識貫穿到一起，如果學生能夠通透地理解這三方面的知識，那么初中數學的學習將會容易許多.

【關鍵詞】一次函數；一元一次方程；一元一次不等式；關系

一、 一次函數的學習

初中數學教材對函數的定義是：在某一個變化的過程中，有變量x和y，當給定一個x值時，就有相應的y值與其對應，y就被定義為x的函數.在初中函數的定義中，只要有一個x值就能確定一個y值，有一個y值就能確定一個x值.一元函數的數學表達式是y=kx+b（k非零），其中當b為零時就是正比例函數，通過該公式更能明晰地看到x和y的一一對應關系，只要確定了x（y），就能確定唯一的y（x）與之對應.在初中數學中x和y組成了一對有序實數對.

初中生還應該學會描繪一次函數的圖像.通過求對應值、連線、畫圖，學生知道了一次函數是一條直線.在坐標軸上只要求出交點坐標并連線，那么這條直線就是y=kx+b的圖像，其中正比例函數是過原點的直線.在此基礎上，初中生要知道一次函數圖像的性質，例如，在k>0，b>0時圖像經過第一象限、第二象限和第三象限；而在k>0，b<0時，圖像經過第一象限、第三象限和第四象限，并且在k>0時，直線與x軸夾角為銳角，反之為鈍角.教師要給初中生灌輸這樣的觀念，凡是滿足y=kx+b的x與y的值所對應的點（x，y）一定在直線y=kx+b上.

以y=4x+8為例，學生在看到這個函數時應該知道函數經過第一、二、三象限，函數與x軸的交點是（-2，0），與y軸的交點是（0，8），函數圖像和x軸的夾角是銳角.

初中生剛剛從小學階段上來，在學習方式和學習方法上還很不適應，教師在教授一元一次函數時，不能僅僅依靠課本的內容進行教學，這樣容易導致學生產生膩煩情緒，喪失學習一元函數的興趣.教師在實際教學中可以采取多媒體教學方式進行教學，多媒體教學方式可以直觀地反映出教學的內容，給學生一目了然之感，讓學生在初步理解一元函數的內容時省時省力，這樣就可以克服學生學習新知識的恐懼感，讓學生以輕松愉悅的心情去面對初中數學的學習.另外，初中數學老師在設置教學情境時要選取學生熟悉的生活場景，利用學生已有的生活經驗進行數學教學可以讓數學知識更容易被學生接受.例如，教師可以選取生活中購物或者消費的情境設置一元函數習題，讓學生深刻地記憶一元函數相關知識.最后，教師還要鼓勵學生多動手做題，一元函數涉及畫圖像、識象限等方面的問題，初中生在剛剛學習這方面的知識時，如果不能動手練習而只靠自己想象，很難真正理解一元一次函數的本質.教師可以組織學生進行小組互助學習，在小組中教師要鼓勵對一元函數知識掌握好的同學幫助其他學生進步，鼓勵性格開朗的學生擔任小組長和其他小組的成員溝通和接洽，經過一段時間的小組學習，教師還可以組織小組競賽，給學生一個積極競爭、健康向上的學習氛圍，同時也能夠讓同學之間了解到自己學習的不足，給自己一個客觀的評價.

二、 一次函數與一元一次方程和一元一次不等式之間的關系

從數學表達式上看，一元函數的表達式是y=kx+b，一元一次方程的表達式是kx+b=0，一元一次不等式的表達式是kx+b>（<）0.由此可見，一元一次方程式表達的是函數y=0時x的數值，而一元一次不等式解決的是y>0或者y<0時x的取值范圍.以下舉例說明：

以y=3x+6為例，該函數過第一象限、第二象限和第三象限，與x軸和y軸的交點分別是（-3，0），（0，6）.當y=0時，該函數變為一元一次方程，其解為x=-3；當y>0時，該函數變為一元一次不等式，x的取值氛圍是大于-3.通過圖像觀察可知，一元一次方程的解是一元一次函數與x軸交點的橫坐標；而一元一次不等式在k>0時，y>0在交點的右邊，y<0在交點的左邊，當k<0時結論相反.

由以上論述可知，一元一次函數與一元一次方程和一元一次不等式之間是相互聯系的，它們在本質上相互滲透，一元一次方程和一元一次不等式在解法上都可以通過觀察一元一次函數得到，所以，當學生熟悉了一元一次函數的性質和圖像特征時，一元一次方程和一元一次不等式的問題就迎刃而解了.一次函數和一元一次方程以及一元一次不等式均反映了客觀事物變化規律，函數描述的是事物變化的過程，方程描述的事物在某一點的狀態，即事物變化過程中的某一瞬間的情況，而不等式則反應了在變化過程中的某一方面或者某一側面，是范圍和片段的概念.通過函數、方程和不等式之間的聯系和理解，教師要把數形結合的概念深入到學生的思維中去.

總之，教師在教學中應該有意識地把這三方面的知識串聯在一起，讓學生在學習完一元一次函數之后，能夠迅速地理解一元一次方程和一元一次不等式的相關知識，做到融會貫通、舉一反三，這樣學生才能真正掌握初中數學這三方面的重要知識.

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