關于“雞兔同籠”問題的教學思考

楊忠

摘 要：“雞兔同籠”問題的教學應進行教師樂教、學生樂學、教學方式多樣化、教學探究充滿激情和立足于“為了學生的發展”的思考。其解題方法除了假設法、列舉法和方程法外，還應該有面積法。其題型應有拓展。

關鍵詞：小學數學；雞兔同籠；教學方法；教學思考

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1009-010X（2013）06-0067-03

一、“雞兔同籠”問題的教學背景

“雞兔同籠”是中國古代著名趣題之一，大約在1500年前，《孫子算經》中就記載了這個有趣的問題。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。問籠中雞和兔各有幾只？

因為“雞兔同籠”問題的趣味性和拓展的廣泛性，也因為其解題方法的代表性，因此，使得這類問題頻頻出現在當今的各種小學數學競賽中或各種奧數讀本里。在新課改的教材中，“雞兔同籠”也堂堂正正地與小學數學新課程“同籠”。其實，無論從哪個角度來說，小學數學教學中都應該有“雞兔同籠”的一席之地。也可以這樣說：只要有小學數學的存在，就應該有“雞兔同籠”的存在。

關于“雞兔同籠”的教學，所呈現的景象是：教師樂教，學生樂學，教學方式多樣化，教學探究的文章在有關刊物屢屢出現。這種教與學的氛圍、教學方式的多樣化和滿懷激情的教學探究，已經超越了問題本身，促進了學生快樂地“學”，教師有效地“教”。

二、“雞兔同籠”教學中的解題方法

“雞兔同籠”問題呈現在教學中的解題方法，歸納起來有下面幾種。

問題：雞兔同籠，有12個頭，30條腿。雞、兔各幾只？

（一）假設法

假設法就是先假設全都是雞（或兔），然后根據由假設得到的腿數與實際腿數的差，就能求出兔（或雞）的只數。

解：（30-2×12）÷（4-2）=3（只），12-3=9（只）

答：雞9只，兔3只

（二）列舉法

列舉法就是列出雞和兔的各種可能的情況，然后根據腿的總數是否符合來求解。

答：雞9只，兔3只。

（三）方程法

方程法就是設雞（或兔）的只數是x，列一元一次方程即可求解

解：設雞有x只，則

2x+4（12-x）=30

解得：x=9，12-9=3（只）

答：雞9只，兔3只

（四）面積法

面積法就是將雞與兔的只數作為長方形的一邊，每只雞或兔的腿數作為長方形的另一邊，根據長方形的面積對應的腿數來求解。

解：以長方形的一邊表示雞與兔的只數，另一邊表示每只雞或每只兔的腿數，那么相應長方形的面積表示雞與兔的腿的總數，如圖所示：

4×12=48（條）

48-30=18（條）

18÷（4-2）=9（只）

12-9=3（只）

答：雞9只，兔3只。

三、關于“雞兔同籠”問題的教學思考

（一）關于解題方法的思考

以上幾種解題方法各有千秋，對于培養小學生的發散思維能力、感悟數學的思想和方法、提高數學學習的情感和興趣等方面都將產生非常積極的影響。

假設法是教學中用得最多的方法，很多教師一看到“雞兔同籠”問題，就定格為假設法而忽視其他方法。 假設法也確實能夠便于小學生接受，只要學會假設，同時學會尋求兩個差相除，問題就得以解決。假設法是解決這類問題的一種行之有效的方法，而利用兩個差相除的方法還不僅僅是假設法才用到。

列舉法應該是在學生還沒能掌握假設法之前就能夠想到的方法，這符合兒童的認知特點。雖然在列舉的過程中也許有學生會直達目標，但只有列舉出所有情況才能肯定有且只有一個答案。這就會自然出現一個感覺上不太愉快的問題，那就是一一列舉的操作量的問題，倘若把題目中的數據換大，勢必帶來操作量過大的麻煩。因此，教師還須探究更為簡便可行的方法。

方程法也應該是在學生能夠想到的方法，對于小學高年級的學生來說，已經具備列一元一次方程求解應用題的能力。此時運用方程法，可鞏固和提高列方程解應用題的能力，同時能夠感受到方程法在數學運用上的普適性。這也為學生進入初一階段的學習，包括學習二元一次方程組，都是一種鋪墊和過渡。因此，方程法的運用不可不提。

面積法，這是一種具有挑戰性的方法，既是對學生的挑戰，也是對教師的挑戰。面積法使得數與形巧妙地結合在一起，不僅體現出數形結合的思想和方法，而且體現著一種數學的美。在這里，腿的數量存在著雞與兔的只數和每只雞與兔的腿數的乘積關系，而能夠反映兩個量乘積關系的幾何意義的平面圖形，莫過于熟知的長方形。進而，只要是能夠反映兩個量乘積關系的應用題，教師不妨試一試面積法。這樣，面積法的運用就可能轉化為一種意識，就會隨之而擴大運用的范圍，如行程問題、工程問題、盈虧問題，甚至較復雜的計算題。事實上，對于數學的學習，一旦學會了數形結合，也就使學習進入一個新天地。

那么，只有這些方法都展示出來，才能顯示其千秋，比較其憂劣。也許有的方法并不簡便，也并不易于接受，但是各種方法的數學內涵是不能相互替代的。“雞兔同籠”教學的目的，并不僅僅是能夠給出一個求解問題的方法，而應該是能夠探究出解決該類問題的多種方法。否則，怎樣體現新課程理念？又怎樣體現課堂教學較之奧數輔導的優越性？新課程理念的核心是問題的探究，是探究的過程，是探究的過程中的創新，從而具有數學學習的情感、態度和價值觀，而傳統教學和奧數輔導所缺乏的正是這些。因此，借助“雞兔同籠”的教學機會，就應該展示出這些解題方法。

（二）關于題型拓展的思考

“雞兔同籠”教學的目的，并不僅僅是能夠求解一個“雞兔同籠”問題，而是能夠求解一類“雞兔同籠”問題。事實上，“雞兔同籠”展現的是這樣一類問題：把有聯系的兩種事物放在一起描述，已知這兩種事物的總數和關于這兩種事物本身特有的另一個數量，求這兩種事物各自的數量。這類問題就是一個具有普遍性的問題，“雞兔同籠”只不過是其中的一個代表，而用“雞兔同籠”來代表這類問題又的確很恰當、很經典，因此，教師不妨稱這類問題為“雞兔同籠”問題。

既然“雞兔同籠”是一類題型，那么，在教學中就應該將“雞兔同籠” 拓展為一類問題，而不是一個問題，不只是雞兔同籠本身。因此，教師有必要將問題進行拓展，讓學生看到形形色色的生活中的“雞兔同籠”類型問題。在“雞兔同籠”這個大類問題中，存在著若干小類的問題，常見的有下列問題：

1.支付問題：某零件加工廠按工人完成的合格零件和不合格零件支付工資。工人每做一個合格零件得工資10元，每做一個不合格零件被扣除5元。已知某人一天共做了12個零件得工資90元。那么他在這一天做了多少個不合格零件？

2.裝載問題：有大小兩個瓶，大瓶可以裝水5千克，小瓶可裝水1千克，現在有100千克水共裝了52瓶。問大瓶和小瓶相差多少個？

3.比賽問題：贏一場球賽得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊踢12場，負6場得分16分，問勝了幾場？

4.計數問題：一份中學數學競賽試卷共15題，答對一題得8分，答錯一題或不做答均倒扣4分。有一個參賽學生得分為72，這個學生答對的題目個數是多少？

5.購買問題：紅鉛筆每支0.19元，藍鉛筆每支0.11元，兩種鉛筆共買了16支，花了2.80元。問紅、藍鉛筆各買幾支？

6.工程問題：一份稿件，甲單獨打字需6小時完成，乙單獨打字需10小時完成，現在甲單獨打若干小時后，因有事由乙接著打完，共用了7小時。甲打字用了多少小時？

7.貸款問題：某公司向銀行申請A、B兩種貸款共60萬元，每年共需付利息5萬元，A種貸款年利率為8%，B種貸款年利率為9%，該公司申請了A種貸款多少萬元？

8.年齡問題：今年是2012年，父母年齡（整數）和是78歲，兄弟的年齡和是17歲，四年后父的年齡是弟的年齡的4倍，母的年齡是兄的年齡的3倍。那么當父的年齡是兄的年齡的3倍時，是公元哪一年？

9.幣值問題：買一些4分和8分的郵票，共花6元8角。已知8分的郵票比4分的郵票多40張，那么兩種郵票各買了多少張？

10.行程問題：從甲地至乙地全長45千米，有上坡路、平路、下坡路。李強上坡速度是每小時3千米，平路速度是每小時5千米，下坡速度是每小時6千米。從甲地到乙地，李強行走了10小時；從乙地到甲地，李強行走了11小時。問從甲地到乙地，各種路段分別是多少千米？

在這些“雞兔同籠”類型的問題中，都有對應的“雞”和“兔”，都有對應的“雞腿數”和“兔腿數”，都有對應的“雞兔總只數”和“雞兔總腿數”。解題時，只須在頭腦里裝著“雞兔同籠”即可。

（三）關于教學設計的思考

“雞兔同籠”來自人教版六年級數學上冊“數學廣角”，20多年來首次進入教材和課堂，是人教版新課標教材的一大亮點。關于“雞兔同籠”的教學設計，主要是處理好兩個方面的問題，一是關于教學目標的定位問題，二是關于教學時間的安排問題。

1.關于教學目標的定位。前面談到，“雞兔同籠”的教學不應該僅僅局限于問題本身，而應該展示出多種解題方法和“雞兔同籠”題型。那么，教學目標的定位，就應該將此作為立足點。下面給出關于“雞兔同籠”問題的教學目標，僅供參考。

知識與技能目標：

（1）認識“雞兔同籠”的數學趣題，了解與此有關的數學史，學習我國傳統的數學文化。

（2）認識“雞兔同籠”的題型，理解、學習“雞兔同籠”問題的意義。

（3）能運用不同方法解決“雞兔同籠”問題。

過程與方法目標：

（1）探究“雞兔同籠”問題的各種解題方法。

（2）理解一些基本的數學思想和數學方法。

情感、態度與價值觀目標：

（1）獲得解決問題的成功體驗，提高學習數學的興趣。

（2）體會“雞兔同籠”問題在日常生活中的應用，進而體會數學的價值。

教學重點：“假設法”和“面積法”的探究；題型的拓展和認識。

教學難點：“假設法”和“面積法”的探究。

需要說明的是：（1）這里的教學目標是對整個“雞兔同籠”問題而設計的，一個學時是難以達到的。（2）“假設法”、“方程法”和“面積法”具有普遍性和實用性的運用價值，也是數學思想和方法的體現，“面積法”更是數形結合的思想和方法的體現。由于“列舉法”的局限性和“方程法”是學生在五年級上學期學過的方法，“假設法”和“面積法”就成為了教學重點，同時也是教學難點。（3）由于“雞兔同籠”的題型也作為教學的立足點，所以也就成為另一個教學重點。（4）教師首先要對“雞兔同籠”問題要有一定的研究，否則，教學就只能是照本宣科或就題講題，課堂目標就大打折扣。（5）在解決“雞兔同籠”問題時，學生選用哪種方法均可，不強求運用某一種方法，只要學生會解決這類問題即可，同時要兼顧學生之間的差異而做好輔導工作。（6）關于“面積法”，似乎未曾有人提到，但筆者堅持將其作為一種重要的方法，比起“假設法”來，其運用范圍和數學思想都是有過之而無不及，況且它直觀形象而易于接受，對中學數學的學習有非常重要的意義。（7）對于“猜測法”， 我不贊同把它也作為一種讓學生學習的方法，因為它是盲目的、無序的、不可操作的。

2.關于教學時間的安排。根據教學目標的定位和教學的重點難點，教學時數至少應該是兩個學時，第一學時側重于“雞兔同籠”問題的解題方法，第二學時側重于“雞兔同籠”問題的題型拓展。

實際上，按兩個學時來達到教學目標依然是時間緊張。盡管在教學中幾種解題方法不宜平均使用，題型的拓展也是有選擇的，但是解題方法的探究過程、數學思想的體會提煉和題型拓展的認識及其求解方法的鞏固，都需要用一定的時間。因此，教師不妨轉換一下思維和視角，瞄準課堂教學以外的時間。

利用課堂教學以外的時間，歷來（包括傳統的和現在的）都是被為鞏固課堂教學中學到的知識而占有，就是所謂的課外作業。其實，教師也在提作業布置的改革，但就是沒有實質性的舉措。我以為，課外作業的布置除了少量的鞏固當天所學的知識和方法外，應該布置些對問題的探究方面的作業。這種對問題的探究形式在時間和空間上都是開放的，通過學生自己動手操作、實驗、制作、擺弄、查閱、訪問等形式去探究和發現，學生肯定樂學，這也正是新課程的價值取向。

對“雞兔同籠”問題的教學而言，了解與此有關的數學史和解題方法，就可以提前布置給學生這樣的作業，同樣又布置下節課的關于題型拓展的作業，這樣就能夠在有限的課堂教學時間里從容而有效地完成教學任務，教學目標的達成就是現實的和可行的。

總之，關于“雞兔同籠”問題的教學思考，也僅僅是思考，是立足于“為了學生的發展”的思考，是需要經過教學實踐來檢驗的。