反思課本例習題，培養學生思維能力

【摘要】在教學過程中，很多時候我們都只是重視問題的解決，而忽視對問題的解答進行反思。高中教材中絕大多數例習題都是很典型的，作為知識的傳授者，我們應鼓勵學生對其進行積極的反思，從而培養學生的思維能力。本文結合課堂教學個案，對如何使用例習題提出了幾點拙見。【關鍵詞】反思 例習題 思維能力

數學課本是數學知識的系統載體，是教學大綱的具體體現，《考試說明》中規定的測試的數學基礎知識，基本技能，基本思想和方法，考查的各種數學能力，都是通過課本體現的，而課本中的很多例習題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓。而且，高考中有相當數量的試題是源于課本而高于課本的。因此，在教學過程中，我們不能只重視對例習題的解決，而更應該鼓勵學生對其進行積極的反思。解題過程的反思，實際是一個解題學習的強化過程，一個增加解題的可供聯想儲備信息的過程。課堂教學中進行課本例習題反思，目的就是給學生以總結、探索、發現、發展的空間。只要我們能創設問題情境，讓學生大膽發現問題，就能開發學生的智力，培養學生的思維能力。

一、例習題“變化”，提高思維的靈活性

數學解題的思維過程實質上是一個變更問題的過程，即逐步地變換問題的表達形式，這樣既能鞏固基礎知識和基本方法，又能提高靈活運用基礎知識解決問題的能力。

例1：雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于1，那么點P到另一個焦點的距離等于 。對此題，學生會很快想到如下解法：解：由4x2-y2+64=0整理得 1=±16，所以|PF2|=17或|PF2|=-15， （舍去），所以點P到另一個焦點的距離等于17。

上述解法是正確的，下面我們來看這兩道題：

1.雙曲線4x2-y2+64=0上一點P到它的一個焦點的距離等于17，那么點P到另一個焦點的距離等于 。

2.設F1和F2是雙曲線

x的左右焦點，點P在雙曲線上，若點P到焦點 F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離。

對于題1，若仿例題的解法可得|PF2|-17=±16，得|PF2|=1或|PF2|=33。同樣求得題2的解為|PF2|=1或 |PF2|=17。

上面兩題答案正確嗎？不然。經過與學生共同探討得，題1中的雙曲線

，即|PF1|>a+c，故點P可以在雙曲線的上支上，也可以在雙曲線的下支上，所以|PF2|應有兩個值。題2中由方程知右支頂點到F1的距離為10，而|PF1|=9<10，說明點P在雙曲線右支上，故|PF2|應取值17。

通過改編習題，能夠讓學生搞清楚問題的實質，做到“授人以漁”，而不是“授人以魚”，達到啟迪思維、鞏固雙基的效果，提高思維的靈活性。

二、例習題“類化”，展現通性、通法

將例習題類化，向學生展示解此類問題的通性通法，可以使學生明白一類題，抓住一串題，達到舉一反三、觸類旁通的效果。

例2：人教A版選修2-1有這樣幾道例習題：

1.設點A、B的坐標分別為（-5，0）（5，0），直線AM和

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）若P與A、B均不重合，設直線PA與PB的斜率分別為k1、k2證明k1·k2為定值。

將課本中比較重要的典型例習題結合高考題目進行變式訓練，可以讓學生在所學知識上得到進一步的升華，既讓學生全面系統地掌握了基本技能與基本方法，又能很好地培養學生的思維能力。

三、例習題結論“一般化”，培養思維的概括能力

數學思維的概括性是由于數學思維能揭示事物之間抽象的形式結構和數量關系這些本質特征和規律，而數學思維模式的形成、數學思維方法的獲得是數學思維概括性的重要表現。在教學中將課本中部分例習題結論進行適當挖掘，找出其思維模式的一般性，將結論加以推廣、一般化，這對于培養學生思維的抽象和概括能力是十分有益的。

例3：觀察以下各式：

分析上述各式的共同特點，寫出能反映一般規律的等式，并對等式的正確性作出證明。（人教A版必修4習題3.1 B組第3題）

顯然，本題是開放性問題，思考過程只需抓住從角、三角函數種類、式子結構形式三方面尋找共同特點，不難得出反映一般規律的等式。如：

以上結論的證明在此略。

在平時的教學中，我們若能認真反思教材，把蘊藏其中的那些隱含的問題挖掘出來與學生一起探討，對于培養學生的思維能力無疑是非常有益的。