初三數學活動課“折紙與證明”設計與反思

【摘要】筆者結合自己開設的一節市級公開課《折紙與證明》數學活動課設計過程，重點從目標制定和活動設計兩個方面結合教材、學情進行重點分析，努力對“如何開展數學活動的有效設計？”展開深入思考，意在引發大家重視“數學活動”，增強對“數學活動課有效性及策略”的研究。筆者結合自己開課的效果，在優化目標、優化活動設計、優化互動生成、多媒體合理使用等方面進行了反思，希望對數學活動的設計提供借鑒。

【關鍵詞】數學活動課 教學設計 反思

《全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）》明確提出：“數學教學是數學活動的教學?！薄皵祵W活動是學生經歷數學化過程的活動。”相應地，“數學活動”也走進了各種版本的實驗教材。以蘇科版義務教育課程標準實驗教科書為例，各章結束時都安排“數學活動”這一教學內容，設置的目的在于培養學生綜合運用章節知識及方法解決實際問題，培養學生的問題意識、應用意識和創新意識，積累學生的活動經驗，提高學生解決現實問題的能力。但鑒于“數學活動”內容設置較少、較開放，對教師的課堂設計及組織能力都提出了挑戰，現實狀況是很多學校都跳過“數學活動”教學。

筆者結合自己開設的一節市級公開課——蘇科版九年級上第一章數學活動課《折紙與證明》，談談自己對數學活動課的設計和反思。

一、案例實施背景

2009—2010學年度第一學期第五周，南京市初三數學中心組研討活動在第十三中學紅山校區開展，筆者選擇蘇科版九年級（上）第一章數學活動《折紙與證明》開設公開課，通過對本節開放型課型的活動展示，筆者希望拋磚引玉，激發大家更深層次思考。開課班級是筆者所教的班級，班級中數學優秀生、中等生居多，后進生較少。

二、案例主題分析與設計

本節課是蘇科版義務教育課程標準實驗教科書九年級數學（上冊）第一章圖形與證明（二）的最后一課，教材將本節課的內容安排在圖形與證明（一）、（二）學完后，既說明本節課的折紙活動是前兩章知識的綜合應用，又說明證明的過程是操作活動的理論依據，從而進一步讓學生認識到證明的必要性，感受合情推理和演繹推理相輔相成的關系。本節課以“折一折？說一說”，“折一折？寫一寫”，“折一折？用一用”設計教學環節，折紙活動由簡單到復雜，說理要求循序漸進，并在活動中激發學生認真思考、積極探索、主動發現問題，并從問題中歸納出折紙問題中蘊含的數學知識和解決折紙問題的一般方法，從而促進學生研究性學習方式的形成，同時通過小組內學生相互協作研究，培養學生合作性學習精神。

三、案例細節分析

1.目標定位。（1）從教材的角度。本節內容在教材中安排在“圖形與證明（一）、（二）”學完后，意在突出從數學理論的角度，即用證明的方法來說明折紙活動的合理性，同時體現了本章在認知過程中想要突顯的兩種認知方法間重要的辯證關系：觀察操作豐富了我們對圖形的認識和感受；學習證明以利于我們有條理的思考與表達，探索與證明都是獲得結論的重要途徑，它們相互依賴、相輔相成。再分析課題，“折紙與證明”包含兩方面的含義：折紙活動是數學知識的應用并幫助學生加深對數學知識的理解，證明則說明折紙活動的合理性并激發學生從數學角度創新思考，解決問題。兩者都要兼顧，若偏重于活動，讓學生多說多動手，課堂雖然熱鬧，但如果不能從折紙活動中獲得證明的思路，教學目標則未能達成，從這個角度看更偏重于證明。（2）從學生的角度。作為活動課，首先要讓學生動起來，按照課本上活動組織學生活動，發現課本上活動間缺乏關聯，設計方案預設，難以激發學生好奇心和創新意識，最后一個活動過于復雜，學生不易說理與目標達成，于是優化活動設計，保留用矩形折正方形，用正方形折邊長與正方形邊長相等的等邊三角形兩個活動，結合九年級的綜合與實踐，補充了書上的兩個活動。試講后發現，學生折紙能力較強，但說理能力卻出人意料弱，出現以下問題：找不出折疊后可用于說理的條件；描述不準確；不會表述，認為理所當然等等。這表明教師高估了學生的說理水平，沒有準確地把握學情，科學合理地確定重難點，應減少活動數量和時間，加強學生尋找解決折疊問題證明方法的探究。（3）從中考應試的角度。折疊問題是中考專題之一，每年的考試中都有一定的體現，2009江蘇中考第29題，在解決第二問時，很多學生就弄錯了折疊后的結論，從而導致證明的錯誤。類似的錯誤還可以找出很多，說明折疊的說理問題就是學生的一個薄弱環節，按照怎樣的方法與步驟進行說理證明是學生的一個盲區。

通過幾番斟酌，優化學習目標，將通過折紙活動探究歸納出解決折紙說理問題的一般解題步驟并學會解決實際問題作為本節課的重要目標，數學活動目標明確，針對性強，學生在活動中才能有所得。

2.活動確定。通過幾次試講，出現這樣幾種情況：活動時間太長，時間來不及；限制活動時間，理論性太強，又顯得不是活動課。同時，活動間的關聯與過渡不流暢、學生活動的方式與時間不合理。優化活動設計，教學活動由四個活動減少為三個活動，改編2009江蘇中考29題將其變為活動三。在整體活動設計中，思考了以下五個方面的關系。（1）數學活動與數學思想的關系：活動既有數學思想方法的支撐，又是對知識與內容的升華。每一次活動結束都有設計方法的歸納與小結。（2）動嘴說與動手寫的關系：數學活動教學是在數學領域內一定的思維活動、認識活動的教學。動嘴說和動手寫是思維活動與認識活動的一種體現，兩者在數學活動過程中要合理安排。會說并不代表會寫或會規范思維，活動設計要留有學生書寫反饋時間。本節課，活動一簡單熟悉，活動后可以安排學生上臺講；活動二復雜且有思維深度，活動后可以安排學生獨立寫，并用PPT規范校正；活動三歸納應用，活動后安排學生按方法獨立解決，并用展臺展示學生多種解答。（3）活動與活動之間的關聯與過渡：活動與活動間以主線相串，環環相扣、由淺入深，以激發學生求知欲和好奇心。課本上活動方案是呈現型的，缺少神秘感，難度設計從易到難，但不能體現活動間的關聯與遞進生成。優化問題設計，活動一設計為“你會用一張矩形制片折成一個正方形嗎？”；活動二設計為“你能用你剛剛折成的正方形折出邊長與之等邊長的等邊三角形嗎？” 活動三設計為“將正方形紙片換成一個三角形紙片，你會折出等腰三角形嗎？”活動設計兼顧分層教學：問題二想不出的學生按課本方法折，對于高層次學生老師可以追問“你是怎樣思考這種折疊方案的？”；問題二對于層次高的同學，則可布置任務“用剛才的三角形的紙片，你還能折出菱形及其他圖形嗎？”。（4）獨立思考與合作學習的關系：活動化彰顯的主要是群體活動，諸如合作交流等，缺少獨立思考的個體活動?；顒诱n若只讓學生合作交流，而不讓學生獨立思考，課堂顯得熱鬧，但卻浪費了學生有效的課堂學習時間，一部分學生課堂達成率也大打折扣。本節課設計始終在活動、思考、說理中循環，在活動中優化互動生成、優化自主體驗。簡單的活動自己做、自己寫，如活動一；較難的問題三人小組合作完成，如活動二，先思考‘再合作’再矯正。探究折疊前后不變的位置關系與數量關系，是學生的薄弱環節，學生不知從什么角度考慮，對于該易錯點，不急于拋給學生，注重互動生成，學生先寫，展臺顯現問題，師生共同探究思考的角度，順其自然生成出尋找折疊結論的五個角度：角、線段、圖形、折痕、折疊前后不變的位置關系；探究解決折疊問題的一般步驟，同樣注重互動生成。根據軸對稱知識，從五個角度找到了關系，特別是問題二中出現了折痕，折痕垂直平分對應點的連線段，是學生遺忘點，借助教具，讓學生回憶、思考、理解，突破難點，讓學生再思考，條件找出后怎樣進行說理，學生順其自然生成出說理證明的一般步驟：分析選擇條件、用數學知識進行說理證明。（5）課內與課外的關系：根據優化評價矯正的原則，每節課要盡量確保進行課堂檢測。根據學生探究過程中出現的“弄不清通過折疊究竟能得出何種結論”的問題，在三個活動結束后安排了突破易錯點的針對性較強的課堂檢測。由于教學過程中重點突出，目標明確，學生的達成率在95%以上。由于課堂中的學生具有層次性，課堂上總要為層次高的同學多設置問題，若時間不夠解決問題則延續到課后。如上面提到的“用剛才的三角形的紙片，你還能折出菱形及其他圖形嗎？”等等，此類問題設計是課內向課外的拓展延續。

四、案例設計

1.學習目標。（1）知識與技能。會熟練根據軸對稱的性質尋找由折疊得到的關系及折疊前后圖形中存在的不變的位置關系，歸納解決折紙問題的一般步驟并學會解決實際問題。（2）過程與方法。1）經歷操作、證明的過程，進一步激發對數學證明的興趣，感受證明的必要性，感受合情推理和演繹推理相輔相成的關系，進一步發展合乎邏輯的思考和有條理表達的能力。2）在折紙活動中體會實踐操作對認識圖形所起的作用并加深對本章的數學知識、數學思想和綜合與分析的思維方法的理解。（3）情感、態度與價值觀。經歷克服困難和取得成功的過程，增進應用數學的自信心。

2.重點分析。經歷操作、證明的過程，探究解決折紙問題的方法并會解決折紙問題

3.難點分析。探究解決折紙問題的思路

活動，你有哪些收獲？

6.拓展活動。在活動三操作的基礎上你能折出菱形嗎？若能，用證明來說明操作的合理性。

五、案例反思

1.在優化教學目標時，要善于準確了解學情。公開課通常經歷以下過程：試講、了解學情（學生暴露問題），準確定位學習目標，合理設計重難點、優化教學活動，激發學生研究、學生知識再認識。但常態課卻不可試講，即會時常出現目標不明、目標過大或過小，教學過程設計無方向感、針對性、有效性。在平時教學中，要吃透教材，準確了解學生現在在哪里，科學定位教學目標，增強一節課的方向感。

2.在教學活動設計時，要善于優化問題的設計。課堂教學應以解決問題為出發點，本節課設計環環相扣、循序漸進的問題串，充分調動學生的積極性和參與性，引發學生的共鳴，營造和諧活躍的課堂氛圍。

3.在教學活動過程中，要善于優化問題的互動生成。任何一個問題的探究，一定要依據學生已有的知識儲備，要引導學生學會化未知為已知，學會用轉化的數學思想思考問題，不要急于授之以魚，而要授之以漁。本節課借助合理的問題串，引發生生、師生等多種互動探究活動，通過學生的看、說、寫等多種活動形式，巧妙地突破重難點，互動生成出解決問題的一般方法。

4.在教學手段選擇上，要善于合理應用多媒體的設備。本節課綜合交叉地運用展臺、幻燈片和教具，極大地激發學生的學習興趣，增加了課堂容量，提高了課堂效率，優化了課堂評價。

5.在數學活動教學實踐中，要善于課程創新。教師要轉化固定的思維方式、依附和保守的心態，從被動、依賴的外在專業化模式中走出來，轉向內在的、主動的發展模式。結合數學知識和生活實際，合理開發數學活動資源。根據本校實際、自己的經驗和能力、學生的興趣和水平，整合數學活動資源，建構和創造以“主題？探究？表現”為單元的“登山型”活動課程。即設定作為教學內容核心的數學活動主題，學生能用多樣化的方式，展開活動的、合作的、探究的學習，并能相互表現和共享學習成果，全面提升學生的綜合素質和能力。在教學實踐中意識到：只有教師充分發揮課程創新的意識和能力，才能不斷激發自身的創造性和成就感，進而達成對學生生命活力的激發和創造性的培養。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.全日制義務教育數學課程標準（修訂稿）[M].北京師范大學出版社.2011.

[2]全日制義務教育數學課程標準解讀（實驗稿）[M].北京師范大學出版社.2002.

[3]吳曉紅等.五化現象：新課程理念的彰顯與背離[J].現代教育科學.2012.