函數與方程思想的應用

白保建

摘 要：函數一直是高中數學的一個重點知識，它貫穿于高中數學的始終，而方程也是函數問題的一種特殊形式，所以學習中要注意函數與方程思想的應用，關鍵是函數與方程之間的轉化問題.

關鍵詞：函數；方程；轉化；應用

函數描述了自然界中數量之間的關系，函數思想通過提出問題的數學特征，建立函數關系的數學模型，從而進行研究.一般的，函數思想是構造函數從而利用函數的性質解題，對所給的問題觀察、分析、判斷、比較，產生由此及彼的聯系，構造出函數原型.具體來說可以這樣去理解：

一、函數的思想

利用函數知識或函數觀點觀察、分析和解決問題的思想方法，分析和研究數學中的數量關系，建立函數關系或構造函數，運用函數的性質去分析問題、轉化問題，從而使問題獲得解決，其本質是對函數概念的認識.

二、方程的思想

在對方程概念本質認識的基礎上分析數學問題中變量間的等量關系，建立方程（方程組）或者構造方程，通過解方程（方程組）或者運用方程的性質去分析、轉化問題，使問題獲得解決.

例1.如圖，長方體物體E在雨中沿面P（面積為S）的垂直方向做勻速移動，速度為v（v>0），雨速沿E移動方向的分速度為c（c∈R）.E移動時單位時間內的淋雨量包括兩部分：①P或P的平行面（只有一個面淋雨）的淋雨量，假設其值與v-c×S成正比，比例系數為 ；②其他面的淋雨量之和，其值為 .記y為E移動過程中的總淋雨量.當移動距離d=100，面積S= 時，

（1）寫出y的表達式；

（2）設0

解：（1）由題意知，E移動時單位時間內的淋雨量為 v-c+ ，

故y= v-c+ = （3v-c+10）.

（2）由（1）知，

當0

故y= -15，0

+15，c

①當0

②當

評析：這道題由物理意義和幾何關系構造了變量，利用物理性質和變量間相互關系而得到方程，進而進行轉化求出最值和單調性.

三、方程的思想與函數的思想密切相關

方程f（x）=0的解就是函數y=f（x）的圖象與x軸的交點的橫坐標；函數y=f（x）也可以看作二元方程f（x）-y=0，方程f（x）=a有解，當且僅當a屬于函數f（x）的值域；函數與方程的這種相互轉化關系十分重要.

例2.（2012年高考北京卷文科5）函數f（x）=x x的零點個數為（ ）

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】B

【解析】f（x）=x - x的零點，即令f（x）=0，根據此題可得

x = x，在平面直角坐標系中分別畫出冪函數x 和指數函數 x的圖象，可得交點只有一個，所以零點只有一個，故選B.

評析：這道題就是一個高考中常見的類型，它把函數的零點個數問題轉化成了方程解的個數問題，在平時我們遇到這類問題就是構造一個方程即：f（x）=g（x），進而利用求解或數形結合求出方程解的個數.

我們應用函數與方程思想的幾種常見題型的解決辦法是：遇到變量，構造函數關系解題；有關不等式、方程、最值的問題，利用函數觀點加以分析；在含有多個變量的數學問題中，選定合適的主變量，從而揭示其中的函數關系；實際應用問題，應翻譯成數學語言，建立數學模型和函數關系式，應用函數性質或不等式等知識解答；在數列中，通項公式、前n項和的公式，都可以看成n的函數，數列問題也可以用函數方法解決，這樣的例子很多，在此不做一一表述，只想起到拋磚引玉的作用.

（作者單位 河南省開封市第二實驗高級中學）