小學數學學優生與學困生運算能力差異的調查與分析

運算能力是指根據一定的數學概念、法則和定理，結合運算技能和思維能力使某些運算順利完成的個性特征。目前國內外對運算能力的研究較多，比較有代表性的觀點是“小學生的數學運算能力與小學生的算理知識、算法技能以及思維品質的個性特征有關”。較多相關研究主要從運算能力的某個方面入手，本文試圖通過訪談與測試相結合的方式，分析比較小學數學學優生與學困生在算理、算法、思維品質方面的差異；同時以美國教育心理學家加涅的學習分類理論為依據，在借鑒新西蘭小學生運算能力發展研究項目（NDP）的基礎上，進一步分析學優生與學困生在運算能力結構方面的差異，希望能為小學數學教學提供一些參考。

一、研究方法

1.被試對象的選擇

被試對象從廣西南寧市非示范性小學四年級的三個平行班級學生進行選擇。根據2012年1月數學期考成績，并結合數學科任教師意見，確定選取30名學優生、30名學困生進行訪談及測試。

2.調查工具

本研究依據《〈全日制義務教育數學課程標準〉（修改稿）》及現行小學數學教材，自編運算能力測試題一套。測試題分為口算及筆算兩部分，施測時口算部分命名為《小學四年級數學運算能力測試卷（口算部分）》，內容包括百以內的加減，表內乘除，一位數乘除兩位數的口算題，兩位數乘除三位數的估算題。共20個小題，總分20分，限時10分鐘。筆算部分命名為《小學四年級數學運算能力測試卷（筆算部分）》，內容包括：列豎式計算三位數乘（除）以兩位數、三位數的加減，四則同級運算及混合運算題；包含兩位數以內四則運算的填空題和找規律填數題。共四大題，總分80分，限時30分鐘。測試數據使用SPSS17.0進行統計分析。經前測修訂并實施測驗，統計得出試卷的難度系數為0.709，信度系數0.89；試題平均區分度為0.415，即試卷難度適中，信度、區分度較高。

二、結果分析

1.算理知識的比較

學生的算理知識掌握情況按數的意識、概念原理、位值關系、基本事實記憶四個維度進行分析。結合測試及訪談調查，按照不同類別的平均分進行差異比較，結果如表1所示：

由表1知，在算理知識方面，學優生顯著優于學困生。在數的意識、概念原理、位值關系方面學優生與學困生的差異很大，達到統計學意義上的顯著性程度，在基本事實記憶方面有一定差異，但差異未達到統計學意義上的顯著水平。

2. 算法技能的比較

算法技能差異以區分辨別、選擇應用、規則和高級規則四個亞類對學生進行差異分析。我們采用統計學軟件SPSS17.0進行兩個獨立樣本的T檢驗，結果如表2所示：

由表2知，在算法技能方面學優生顯著優于學困生。學優生與學困生在區分辨別、選擇應用、高級規則運算方面差異達到統計學意義上的極其顯著的水平，在規則運算方面差異達到統計學意義上的顯著水平。

3.思維品質的比較

在小學生數學運算中，突出的思維品質是敏捷性、靈活性等方面。本研究主要做了學優生與學困生思維敏捷性的差異性檢驗。先計算出規定時間內學生運算的平均分，再進行兩個獨立樣本均值差異的顯著性檢驗（T檢驗），結果如表3所示：

4.典型試題分析

為了更清晰地了解學生在運算中出現的問題，我們選擇部分典型試題進一步分析。

【例1】 口算題：107+3×0。

本題學優生組正確率為100%，學困生組正確率僅為15%。設計訪談問題為：這道題為什么這么做？部分計算錯誤的學生說：“因為0乘任何數為0，所以答案為0。”說明這部分學生并沒有很好地理解“0乘任何數為0”的概念原理，不明確這一原理應用的前提條件。可見學困生在算理知識方面認知不清晰。另外，學生先算了加法再算乘法，分析其錯誤的原因也與四則運算順序混亂有關。

【例2】 計算題：46+130÷10-10=46+130÷0。

本題有學生在計算過程中出現了“0”為被除數，得到130÷0=0的錯誤結果。學困生組出現此類錯誤的達到64.3%。受訪學生講述“好像有任何數除以0得0這個定理吧”，由此可見學生對一些基本算理識記不清。另外，部分受訪學生可以正確講述四則混合運算的運算順序規則，說明學生是知道這一算理知識的，但是當中仍有不少學生說“看到10-10就想到可以得0，算題就可以簡化”，可見學困生在遇到高級規則類型運算時，難以正確地選擇和應用恰當的算法。

【例3】 口算題：（1）（61-34）÷3；（2）56+56+56。

在對學生思維敏捷性的考查方面，題目設置了具有聯系的兩道題： 27÷3=9和（61-34）÷3=27÷3=9。多數學困生未能注意到這兩題間的聯系，沒能快速利用“27÷3=9”的結果得出“（61-34）÷3”的答案。在口算題“56+56+56”的計算中，多數計算錯誤的學生表示仍然是從左至右依次計算，而學優生組大部分都能轉化為”56×3“進行運算。從測試情況看，學困生不僅計算速度慢，并且正確率不高。分析認為學優生與學困生在思維敏捷性、靈活性等思維品質方面差異較大。

三、討論

算理屬于知識層面，是運算能力的基礎，主要說明“為什么這么算”的問題。學優生與學困生在算理知識方面有差異，主要體現在數的意識、概念原理、位值關系、基本事實記憶四個方面。例如學生在計算中常出現沒使用0進行補位或占位，計算結果出現漏0和多個0等錯誤，說明學生沒有真正理解“0”在不同情境中所代表的數量關系和含義。可見學困生頭腦中沒有建立起良好的數感，數的意識有所欠缺。有研究表示原因可能與元認知能力低下、缺乏自我核查能力有關。其次，對數學運算相關概念原理的內涵和外延認識不清晰，概念認識僅僅浮于表面，一旦改變運算情境，容易造成認知沖突，即在認知過程中當原有的概念或認知與現實情境不相符時在心理上產生了矛盾沖突，此時出現了概念運用混亂等問題。另外，學困生對位值關系的理解掌握欠佳，缺乏計算步驟的組織排序能力；同時對一些基本公式、表內乘除法、20以內的加減法等基礎知識記憶不牢固也影響了運算的順利進行。

算法屬于技能層面，主要回答“怎么算”的問題。從調查情況看，學優生相較于學困生能更好地進行區分辨別、選擇應用，并能更好地掌握規則運算與高級規則運算。本研究將二位數以內（含二位數）一步運算劃分為規則運算類型，三位數以上（含三位數）二步以上（含二步）同級或混合運算劃分為高級規則運算類型。測試結果顯示學困生在高級規則運算的運算順序，例如多次進位、退位、借位計算時出錯較多。分析認為，高級規則運算需要更多的認知策略參與計算加工過程。加涅認為認知策略是一種自我控制過程，是選擇和調整注意、記憶和思維等的內部過程。學困生注意力的穩定程度和分配能力水平較低，并且容易受到工作記憶維持時間較短的影響，多次進位、退位的數值難以在學生頭腦中長時間保持，此時思維過程受阻礙，容易造成計算錯誤。此外，學困生容易受到知識的負遷移影響，當學生看到熟悉的數字和運算時，容易忽視運算對象的整體特征，沒有區分辨別就隨意運用已知的算法計算。而學優生知識結構較為完善，能夠在各種情境中對算題進行整體分析，因而無論是規則還是高級規則，他們都能夠選擇并應用恰當的方法和策略進行運算。

運算的過程也是思維的過程，思維屬于能力層面，是運算能力的核心部分。小學階段運算能力的要求是“算得正確、迅速；計算方法合理、靈活”。在數學運算中，思維敏捷性主要是指學生快速并準確運算的能力，因此思維敏捷性這一思維品質在小學數學運算中顯得尤為重要。學優生與學困生計算策略的使用有所不同，學困生常使用數手指、口頭數數的策略，減慢了運算速度；學優生熟悉算理、算法，能夠直接使用提取策略進行運算，實現了計算的敏捷快速。在考察小學生思維的靈活性方面，測試題目提出“能簡便運算的要簡便運算”，然而學困生算理知識貧乏，算法技能不熟練，難以選擇優化的運算途徑，計算靈活性更無從談起。學優生具備了較好的思維敏捷性、靈活性等思維品質特征，他們更善于觀察事物間的聯系，能夠快速尋找正確或較佳途徑解決計算問題。

四、結論和建議

1.結論

學優生的算理知識、算法技能、思維品質顯著優于學困生。

在算理知識方面，學優生和學困生主要在數的意識、概念原理、位值關系、基本事實記憶方面表現出不同的差異，其中在數的意識、概念原理、位值關系方面差異性達到了統計學里的顯著水平。

在算法技能方面，學優生和學困生在區分辨別、選擇應用、規則和高級規則方面表現出了顯著差異。

在思維品質方面，學優生的思維敏捷性顯著優于學困生。

2.建議

對學生來說，探索的過程要比探索所得的結果更為重要。在探索的過程中思維的靈活性、流暢性隨之發展，學生覺得學習是一種樂趣、是一種滿足，繼而引發學習的興趣和求知欲。教學中應把巧設生活情境、引導學生探究新知與算理教學結合起來。恰到好處的探索教學不僅可以讓學生感悟到數與運算的價值和現實意義，引發數學的思考，同時也有利于加深學生對相關概念原理的理解。

在算法技能方面，應注意進行數和運算的對比辨析訓練，訓練要由淺入深。如位數增加的運算訓練、同級運算與混合運算的比較訓練等。同時，針對學生錯誤較多的算題進行正誤辨析，加強學生的區分辨別和策略應用能力，訓練提高運算的準確性。

要進一步提高運算能力，重點在于培養和提高學生的思維能力。小學四年級學生的思維已經開始由具體形象思維過渡到抽象思維，這一階段的思維能力培養對其今后的數學能力發展有著重要影響。因而教學中應注重積極發展學生的思維品質，培養學生合理選擇簡捷運算途徑的意識和習慣，鼓勵學生對一道題進行多角度、多方位的探索，促進學生運算能力的提高。

（責編 金 鈴）