“一一列舉”例題教學中的困惑與反思

“解決問題的策略”是蘇教版數學教材體系中重要的組成部分，它包含了眾多的解題策略，“一一列舉”策略就是其中之一。在五年級上冊的教材中，涉及“一一列舉”策略的例題共設有3個：例1主要是讓學生感悟到“一一列舉”也是一種有效的解題策略；例2主要是突出在“一一列舉”時要做到不重復、不遺漏；例3則重點是引導學生從不同的角度、用不同的方式去“一一列舉”。教材編排的意圖在于通過以上不同層次、不同側重的例題教學，讓學生深刻地感受到“一一列舉”策略的特點與價值，進一步發展思維的條理性與嚴密性，然而，在例題的教學過程中，筆者卻遇到了兩個困惑。

【困惑一】在教學例2時，筆者出示了這樣的問題情景：

學生在審題思考后，很快就有了以下的討論。

生1：如果只訂閱1本，有3種不同的訂法；如果訂閱2本，有3種不同的訂法；如果訂閱3本，只有1種不同的訂法。所以一共有7種不同的訂法。

生2：我不贊同他的觀點。如果只訂閱1本，有3種不同的訂法；如果訂閱2本，有6種不同的訂法；如果訂閱3本，有10種不同的訂法。一共有19種不同的訂法。

師：想不到有這么多的訂閱方法。能具體地說一說嗎？

生2：我列了一張表格（如圖1），我認為題目中沒有條件限制，也就是說同樣的一種。刊物是可以重復訂閱的，所以我的訂閱方法比他們的多！

生3：我不同意！我昨天預習了數學書，書中的答案是7種方法，不包括重復的，因為同樣的刊物重復訂閱是一種浪費！（如圖2）

從只訂閱1本想起。如果只訂閱1本，有3種不同的方法；如果訂閱2本，也有3種不同的方法；如果訂閱3本，只有1種方法：一共有7種不同的方法。

（這時不少學生打開課本，紛紛表示贊同。）

生2：這是一種浪費嗎？我們班很多同學都訂閱了《××數學報》，一共有34份，這難道也是一種浪費嗎？

（學生爭論起來）

……

反思：同一種刊物到底能不能重復訂閱呢？《義務教育課程標準實驗教科書 數學教師教學用書 五年級（上冊）》（江蘇教育出版社2007年6月第2版）中指出，教材呈現了兩種方法，雖然它們的表達形式不同，但分類標準還是一樣的，那就是按照訂閱刊物的本數來進行分類：“只訂閱1本，……；訂閱2本，……；訂閱3本，……”。也就是說教材在解答例題時，排除了同一種刊物重復訂閱的情況，可是這種排除合理嗎？要知道在生活中同一種刊物被重復訂閱的現象也是存在的！比如說課堂上生2所說的“學生在訂報紙時就有重復訂閱的現象”。

再來看看例2后面安排的一道關于打靶的練習（教材P64“練一練”）：

一張靶紙共三圈，投中內圈得10環，投中中圈得8環，投中外圈得6環。小華投中兩次，可能得到多少環？（列舉出所有可能的答案）

題目中要求學生“列舉出所有可能的答案”，這里就包括了同時投中10環的、同時投中8環的和同時投中6環的，也就是說某一環被重復投中的情況也要被納入考慮范圍之內，可教材中的例2又“含蓄”地指出同一種刊物不重復訂閱。為什么在現實生活中“訂閱報刊”、“打靶計分”可以重復計算，而在教材中卻就要區別對待呢？毫無疑問，這些人為的、不合理的因素嚴重干擾了學生的思維，影響了學生學習的效率。

處理：針對以上的情況，在教學例2時，可以將例題的答案補充完整，即考慮同一種刊物重復訂閱的情況。但是作為初始課，如果一開始就讓學生列舉出所有的訂閱方法（共19種），對于剛剛接觸新知的學生來說，難度有些偏大了。因此，我們不妨從現實的學情出發，調整一下題目的編排次序，即將例2與例2后的“練一練”進行對調，從淺到深、從易到難，這樣的編排學生更易接受。此外，還有一種更好的處理方法，那就是在例2的題目加上一些限制性的語句，比如說“同一種刊物不重復訂閱”，這樣就使得題目的敘述更加嚴密，目標更加明確，自然也就不會產生歧義了。

【困惑二】在教學例3時，有這樣的問題情景：

例3 旅游團有23人到旅館住宿，住3人間和2人間（每個房間不能有空床位），有多少種不同的安排方法？

經過一番討論與交流之后，學生采用文字、表格的方式得到了這樣的結論：一共有4種不同的安排方法。

師：在這題中，我們是怎樣“一一列舉”的？

生1：我們從1個3人間想起，或者從1個2人間想起，然后有序地、不重復地來進行列舉。

生2：老師，我認為從0個3人間想起，或者從0個2人間想起比較好！

師：為什么？

生2：如果旅游團的人數不是23，而是32呢，這時不是可以安排16個2人間了嗎？

生3：可是原來題目中的“23”，既不是2的倍數，也不是3的倍數，所以就不需要從“0”想起，自然也就不要寫出來了，要知道數學課本里就是從“1”開始想起的啊！

（學生打開教材第65頁，果然看到了“從只住1個3人間想起”“如果只從1個2人間想起”這樣的文字。）

生2：雖然書中是這樣寫的，但我還是認為從0開始想起更加科學、合理！

（學生爭論起來）

……

反思：在上面的例題教學中，引發學生爭議的焦點主要有兩個：第一個爭議點是遇到與例3類似的問題時，到底應從“1”開始想起，還是應從“0”開始想起？《義務教育課程標準實驗教科書 數學教師教學用書 五年級（上冊）》（江蘇教育出版社2007年6月第2版）第133頁中指出，“在提出問題后，教材先啟發學生‘從只住1個3人間想起’……在此基礎上，進一步啟發學生從只住1個2人間想起’，并列舉出各種不同的安排方法”。可是這種說法是否科學合理呢？反觀我們的實際生活，“只住2人間”或者“只住3人間”的情況早已司空見慣！因此，不管是從生活實際的角度，還是從思維嚴密性的角度來考慮，我們都應該從“0”開始想起。第二個爭議點是當我們從“0”開始想起時，如果它對應的數據不合題意，那么要不要把它寫出來呢？對照教材第65頁，教材用列表的方式呈現了“一一列舉”的思考過程，雖然有些安排不合理，但它們都被一一展現出來了。由此，我們不難看出，經歷解題的過程比解題的結果來得更為重要。因此，在“0”的情況下，不管此時的安排是否符合題意，它們也應該被寫出來，因為只有這樣，學生思維的條理性、嚴密性、完整性才會得到真正的加強與提升。

處理：在教學例3時，我們應該走出教材，摒棄原有例題中的表格，讓學生通過討論與交流，優化解題策略。在這過程中，教師要適時引導學生從“0”開始想起，不斷完善解題以及書寫的過程，力求使學生的思維品質得到進一步的成長與超越。

（責編 金 鈴）