四招破解三角形作高的難點

“三角形作高”是人教版小學數學四年級下冊“三角形的認識”一課中的內容，歷來被廣大教師公認為教學難點。這學期，學校舉行數學優質課比賽，教學內容為“三角形的認識”，共六位教師參賽。為了檢測教學效果如何，學校作了新的嘗試，即課后對學生進行作高測試。六輪測試下來，一些共性問題浮現。現將測試中出現的典型錯誤收集、整理如下：

經過討論，我們將上述典型錯誤歸為以下四類，并從學生的認知心理及教師的教學方法方面作了成因分析。

第一類：高沒有從頂點出發（錯誤見③⑧）

成因分析：沒有真正理解三角形高的含義。

關于“高”，學生并不陌生，對生活中的高有一定的認知，也已經學會作平行四邊形的高，這些經驗對學生認識三角形的高有一定的幫助，但同時也會帶來負遷移。部分學生認為三角形高的含義與平行四邊形高的含義相同，作高的方法也相同，實則兩者的含義是有區別的。平行四邊形的高的實質是平行線之間的距離，而三角形的高是最高點到對邊的距離。因此，在作高時，平行四邊形可從對邊任意一點到底邊引垂線段，三角形則不行，必須從頂點出發。教學中，教師沒有強調其中的區別，學生便會出現此類錯誤。

第二類：高與底不對應（錯誤見①⑥⑩）

成因分析：不明確三角形中底與高的相互對應關系。

生活中接觸的高，一般是以水平邊為底，方向是垂直的，高也是唯一的。然而，數學中三角形的高卻復雜得多，在一個三角形中有三組不同的底和高，高隨著底的變換而變換。這與生活經驗產生了強烈的沖突，學生覺得難以理解。教學中，教師又缺乏有效的教學手段讓學生理解數學中的高，明確底與高的相互對應關系。最后，學生或置斜底不顧，仍作了水平邊上的高，或作與頂點所在邊垂直的高。

第三類：高與底假垂直（錯誤見②⑦⑨）

成因分析：三角板的擺放不夠規范。

出現這一類錯誤的學生已經能找到高的位置，但是三角板的擺放不夠規范、到位。三角形作高需要做到“雙重合”，即“邊重合”——三角尺的一條直角邊與底邊重合；“點重合”——另一條直角邊與頂點重合。這對于四年級學生來說，存在一定的難度。另外，教學上也有值得商榷之處：一是教師示范不到位；二是缺乏作高步驟的提煉。

第四類：不會找直角邊上的高（錯誤見④ ⑤）

成因分析：認為高一定在三角形內部。

給銳角三角形畫高后，學生思維上產生一種定式，即高都在三角形內部。即使教師課上對以直角邊為底作高已作引導，但學生獨立作高時，這種固有的思維定式仍在干擾，他們認為高和三角形的邊是兩回事，不可以是同一線段。因此，學生有的把高畫在了三角形中間，有的把高畫在非常接近另一條直角邊的位置，但就是不重合。

那么，針對學生出現的錯誤，如何順應學生的認知心理特點，在課堂教學中有的放矢，有效破解三角形作高這一教學難點呢？筆者翻閱了大量的資料，在借鑒了許多教師寶貴經驗的基礎上進行個性化處理，悟出“四招”破解之術，并付諸實踐，收效不錯，現闡述如下。

一、比較中理解高的含義

1.比身高，啟發高須從頂點出發

即從學生熟悉的比身高進行啟發。當兩人站在一起比身高時，誰高誰矮一定要看兩人的頭頂，而不能比兩人的肩膀誰高。上課時可先請兩位學生上臺比身高，突出高應從頭頂即最高點開始測量。

2.比三角形的高，滲透三組不同的底和高

筆者嘗試從比三角形哪個高入手，讓學生拿出事先準備好的硬紙做的三角形，比比哪個三角形高一些。在同桌合作活動中，學生會把三角形豎起來，使三角形的一條邊和桌子面貼在一起，比較誰的三角形（如圖1）高一些。這樣學生很容易想到要看最上面的一個頂點的位置，因為那個點是最高的。在比的過程中，學生為了證明自己的三角形高一些，還會變換與桌子面貼在一起的那條邊（如圖2），這時他們又能發現當放在底下的一條邊變化時，三角形的高度也會發生變化，從而得出三角形有三個不同的高度。

二、溝通中解析作高的實質

從三角形的一個頂點到它的對邊做一條垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。從定義剖析可知，作高的實質是學生已學會的“過直線外一點作已知直線的垂線”。因此，幫助學生溝通新舊知識的聯系，能收到事半功倍的教學效果。

1.溫習舊“技”

請在下圖中過直線外一點作已知直線的垂線。

（畫完后，請學生說說畫垂線時三角板是怎么擺放的）

2.溝通新知

把已知直線上的兩點分別與直線外一點連結（去掉多余的線條，并將所畫垂線改成虛線），便出現了三個三角形。如下：

教師引導：“點到直線的垂線段，在三角形中就是會么？”由此溝通新舊知識間的聯系，解析三角形作高的方法與經過直線外一點畫已知直線的垂線方法是相同的。

3.明確對應

明確底所對應的頂點，是準確作高的先決條件。教師有必要向學生講明，底所對應的頂點即除了與底邊相連的兩個頂點外的另一個頂點。

課上可組織這樣的游戲（出示四個方位、形狀都不一的三角形，頂點處分別標上字母）：比比誰的反應快。教師說表示頂點的字母，學生搶答與這個頂點相對的邊；如果教師指著三角形的一條邊，學生搶答與這條邊相對的頂點的字母。在輕松的游戲中使學生明確對應的底和頂點，為正確作高埋下伏筆。

三、規范、借鑒中保證作高的準確性

1.選擇好示范的時機

從學生的錯誤看，筆者認為，斜邊上作高比在水平邊上作高更有示范的必要性。因此，教師要選擇好示范的時機，將在斜邊上作高示范在“刀刃”上。

2.提煉作高的步驟

教師示范作高的同時，不要忘記引導學生提煉出作高的步驟：①重合邊；②重合點；③畫線，標記。有了步驟作支撐，學生會不斷地將之內化為一種規范，從而作出準確的高，并養成良好的作圖習慣。

3.借鑒“尺板作高法”

四年級學生借用工具作圖的動手協作、準確把握等能力尚處于初級階段，對于一部分中下學生來說，要掌握三角形正確作高的技能，必須通過很多次的協同操練。為提高教學效率，對于這部分學生，需另尋他法。

筆者借鑒了上虞市實驗小學教改項目的研究成果，向學生介紹了“尺板作高法”，收到了較好的效果。所謂“尺板作高法”，即用一塊三角板再輔以直尺協同作高。如下圖，尺對底，三角板的直角邊對點，直尺當“軌道”，三角板當作“小火車”，一條直角邊緊扣住“軌道”移動，另一條直角邊“開”到頂點停下，作高。“尺板作高法”比起“一板作高法”（一塊三角板作高）看似工具多了，復雜了，而實踐證明，這樣教學教師教得輕松，學生學得也輕松。