例談小學數學課堂教學中“反例”的運用

本文的“反例”是指教師在教育實踐中收集的例題的典型誤解、重要知識點的典型錯誤認識。所謂典型是指它有豐富的教學價值，通過分析對例題的錯解、知識點的錯誤認識，能夠揭示出解題的規律和方法，從而幫助學生掌握重要的知識點，鞏固學生所學知識的薄弱環節。反例具有典型、精制、簡練的特點。

數學教學中時常會遇到這樣的情況：一些數學知識若學生從正面去思考十分困惑時，教師仍從正面解釋顯然是難以奏效。這個時候就需要借助反例的力量。建構主義認為，學生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，舉反例的教學方式常常能使學生興趣盎然，直觀、簡潔的反例更使人拍案叫絕。正如數學家蓋爾鮑母所指出的那樣：一個數學問題用一個反例予以解決給人的刺激猶如一場好戲。

在數學課堂教學中，反例與正面示范同樣重要，它對訓練學生的創新思維起著舉足輕重的作用。下面就談談在小學數學課堂教學中怎樣運用反例。

一、在概念內涵豐富時反例的運用

內涵豐富是指關于概念的本質屬性比較多。因為小學生的感知不全面、不精細，理解這類知識時，可能因教師揭示其本質的方式不當，致使學生常常丟掉了新知中部分本質屬性，從而產生錯誤的認識。此時可舉反例，幫學生找回被丟掉的部分本質屬性，明晰概念的真正內涵，使學生獲得正確的知識。而小學生的感知具有范圍窄小、不精確等特點，小學生很難同時注意幾件事物，常會出現“丟三落四”的現象，所以對一個有豐富內涵的概念來說，學生在感知過程中，可能只會抓住感知對象的部分本質特征，而丟掉另外一部分本質特征，形成錯誤的概念。

例如，一個小數，從小數部分的某一位起，一個數字或幾個數字依次不斷地重復出現，這樣的小數叫做循環小數。依次不斷地反復出現，這兩個條件缺一不可，在幫助學生理解循環小數的概念時，可以出示這樣的反例：0.19191919 和3.1415926…，0.19191919雖然重復出現了四次，但不符合依次不斷這個條件，而3.1415926…符合了依次不斷的條件，可不符合重復出現這個條件，所以這兩個小數都不是循環小數。

通過舉這樣的兩個反例就能使學生很好地理解循環小數這個概念，知道作為循環小數，依次不斷和反復出現這兩個條件必須都滿足，缺一不可。所以，當學生對內涵豐富的知識感知不全時可通過教學反例，凸顯所學知識中易為學生忽視的本質屬性，促進學生對所學知識的全面認識和深刻理解。

二、在概念易向鄰近概念泛化時反例的運用

小學數學同其他學科相比，具有更高的抽象性、概括性，而小學生的感知特點是不能一下子看出事物的主要方面或特征，以及事物各部分之間的聯系。小學生在認識的最初階段容易產生錯誤，在數學的知識結構中，相近的或相互聯系的知識，學生更容易混淆，在心理學上稱為“痕跡性錯誤”，主要是指因舊知識痕跡的影響而發生的錯誤。概念泛化即指學習概念過程中痕跡錯誤的發生過程。此時可通過舉反例否定學生的錯誤認識，澄清相鄰概念的區別和聯系。

例如，判斷下面命題正確與否。

（1） 兩個因數相乘，當其中的一個因數小于 1 時，乘得的積必定小于另一個因數。

（2）兩個數相除，當除數小于 1 時，所得的商必定大于被除數。

很多學生在做這樣的兩道判斷題時，很容易都把它們當作是正確的命題，這時教師就可以及時出示反例：當另一個因數為 0 時， 0 乘以任何數都為 0 ，顯然第（1）個命題是錯誤的；當被除數為 0 時，得到的數為0，顯然小于除數，第（2）個命題也是錯的。

通過舉反例很容易就把這樣的謬論否定了，不但學生容易理解，也幫助他們在未來的學習中排除了干擾信息。

三、當練習中出現消極思維定式時反例的運用

思維定式是人們長期形成的一種習慣思維。這種習慣是學生經由一定思維活動訓練形成的一種固定的習慣。學生在解決問題的時候常常會被這種思維方式所束縛，不能多方面、多角度地去思考、分析和解決問題，導致思維固化。因此在課堂教學中，教師在要盡量克服教學方法的呆板性，要提倡和鼓勵學生向權威挑戰。一是向教師挑戰，鼓勵學生質疑問難，允許學生發表與教師不同的意見和觀點；二是鼓勵學生向課本挑戰，鼓勵學生提出與課本不同的看法。

小學生的思維還處在具體形象向抽象邏輯過渡的階段，他們看問題往往是片面的，容易被事物的表象迷惑。建構主義認為，學生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復的練習得以糾正，而發散思維提倡思維發散于不同的方向，從不同的方面進行思考問題，則可以培養學生多角度、全方面地觀察問題的能力。因此舉反例的教學方式常常能使學生興趣盎然，從而激發學生學習的興趣，培養他們的發散思維能力。

例如，學生容易受乘法分配律m（a+b）=ma+mb的影響，得出錯誤的類推：m÷（a+b）=m÷a+m÷b。針對這種問題，教師只要舉出反例：當m=30，a=2，b=3時，30÷（2+3）=30÷5=6，30÷2+30÷3=15+10=25，所以30÷（2+3）≠30÷2+30÷3。從而糾正學生的錯誤認識。

又如，對于錯誤命題“兩個質數相加，和一定是偶數。”只要舉例“2+3=5”，即可推斷其命題是錯誤的。

數學教學不僅應從正面講清概念、性質、法則、公式等基礎知識，認清知識的正面形態，還應從反面誘導學生弄清易于混淆和失誤之處，使之在反例的“牛痘”接種下，增強認知的免疫功能，因為只有這樣學生才能牢固掌握知識，并加深對數學的理解。教師在數學教學中適時地引進一些反例或適當地引導學生構建反例，還能促使學生在不斷辯證中深化，提高學生全面地分析問題和判斷問題的能力，有利于激發和活躍學生的思維，從而使學生的發散思維能力得到不斷地發展。

四、當解題過程中被表面現象干擾時反例的運用

解決數學問題是按照一定的思維對策進行的一個思維過程，在這個過程中一步步接近目標，并最終達到目標。小學生看問題常常被事物的表象所迷惑而干擾他們對數學知識本質的認識，此時可舉反例，排除干擾，揭示本質。

例如，在教學低年級段的解決問題時，由于學生經常見到“賣掉、吃掉、用了”就用減法，因此不管問題求什么，他們只要看到題中的數據就用減法。因此在復習課上我出示了這道題目：一輛公共汽車到臨時停靠站有9人下車，這時車上有19人，原來車上有多少人？不出所料，很多學生的算式是19-9=10（人）。于是我就讓一位學生說說自己的想法，他的理由果然是下車后車上的人變少了，所以用減法。有一位學生反駁道：“如果車上原來有10人，下車9人，那么車上只剩下一人了，怎么會19人呢？”通過討論大家終于得出了結論：在解決問題的過程中，一定要認真審題，分析已知條件是什么，題目要求的是什么。只有這樣才能找到正確的解題方法。

又如，教學簡便計算時，有部分學生對“先乘除，后加減”的理解有偏差，經常拿到題目不管三七二十一就急于簡便計算。于是在練習課上，我出示兩道題：（1）200÷25×4；（2）25×4÷25×4。部分學生很快說出得數是2和1，這下引來了大家的爭議，我便抓住時機，讓他們說說誰對誰錯，并說出理由。經過討論，大家得出了一致的結論：錯誤的原因是計算順序弄錯了，算式只有乘除法時，是按照從左往右的順序進行計算的。接著我把這兩道算式改一下：（1）200÷25÷4；（2）25×4÷25÷4。讓學生進行簡便計算。學生通過計算、對比、討論，知道了做計算題也需要認真審題，不能被表面現象所干擾。

五、當反饋矯正時反例的運用

當學生解題出現錯誤和漏洞時，他們也能從反例中受到啟發，自主發現，從而獲得正確的結論。

例如，教學三年級上冊“分米的認識”時，出示一篇數學日記：早上我從2分米的床上起來，拿起12分米長的牙刷，擠出1分米長的牙膏刷牙，然后拿起14分米長的筷子吃飯，接著和1分米高的弟弟一起上學去。走了1200毫米遠的路來到學校，坐在5米高的凳子上，拿出12毫米長的鉛筆和5分米厚的練習本，開始做練習。學生讀了這篇數學日記后哈哈大笑，主動地去修改日記中長度的錯誤用法。

美國教育心理學家奧蘇貝爾說過：“影響學習的最重要因素是學生已經知道了什么，我們應當根據學生原有的知識狀況去教學。”此例是我從學生已有的生活經驗出發，在學生認知發展水平和已有的知識經驗基礎上，用數學自身的內涵與魅力來吸引學生，學生經歷了改正錯誤的過程后就會區分米、分米、厘米和毫米的關系，并且感受到數學在生活中無處不在。

六、當教學遇到難點時可運用反例

數學是一門嚴密的學科，是由知識點編制而成的穩固的網絡系統，當原有的知識結構接受一個新的知識點時，學生若是只憑感覺理所當然地去理解，往往會“失之毫厘，謬以千里”。因此在課堂教學中遇到教學難點時，教師不僅要運用正確的例子深刻闡明新的知識，還要適時地引用一些反例，將難化易，促使學生在不斷辯證中深化、完善數學概念的認知結構，提高學生分析理解知識以及正確判斷、運用知識的能力。

例如，在教學圓的周長和面積時，部分學生表示很難理解，這時可以出示一個例子：直徑是4厘米的圓，它的面積與周長相等。學生給出了兩種答案：一部分學生認為是對的，都等于12.56；另一部分學生認為是錯的，好像面積與周長不能比較。此時可以組織學生研究討論，從面積與周長的意義、表現形式等方面來分析，使學生在主動參與研究的過程中充分體驗到“研究者、探索者、發現者”的快樂，從而積極找出錯誤的原因。

建構主義理論指出：學生的錯誤不能單純依靠正面的示范和反復的練習得以糾正。舉反例的教學方式常常能使學生興趣盎然，直觀、簡潔的反例往往使人拍案叫絕。因此，教師在數學教學中應善于應用反例教學，引導學生深化認知。

反例在教學中雖處于輔助教學的地位，但它是培養學生主動性和能力的一種手段，是教師和學生共同活動的對象，是講解知識的一種方法，它有利于學生更好地掌握各種數學理論知識，豐富和加深學生對抽象數學理論的理解，使學生對數學概念、性質、定理有比較清晰的認識，它還能發展學生的綜合分析能力和創造力，激發學生積極的情感，培養學生思維的縝密性、靈活性、求異性、深刻性、創造性，幫助學生克服思維定式，從而實現教學目標。誠然，在小學課堂教學中恰當地運用反例，必能收到事半功倍的教學效果。

（責編 金 鈴）