為了“研究的方便”還是“研究的需要”

摘 要：模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境想出數學問題，用數學符號建立方程不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。

關鍵詞：研究；數學建模；取代；數學操作

蘇教版數學四年級下冊《倍數和因數》第70頁中，有這樣一句話：“為了方便，我們在研究倍數和因數時，所說的數一般指不是0的自然數。”平時我們在解讀教材、進行教學時，也只是因為經驗主義，默認為研究倍數、因數時是非0自然數。今天聽了一位老師的研究課后，我頓覺教材如此解說牽強而不正確！

下面我就從這堂課的教學設計，以及我的一些思考兩方面進行闡述。

一、教學片段

師：用12個同樣大的正方形擺一個長方形，最簡單的可以怎么擺？（大屏幕顯示12個凌亂的同樣大的正方形）

生：只要把12個擺成一行。（學生異口同聲地答道）大屏幕

顯示：

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師：除了可以擺1行，還可以擺幾行？每行擺幾個？獨立思考后同桌兩人進行交流。

師：組織全班交流，多媒體依次呈現。（過程中明確擺2行，每行6個和6行每行2個是同一類型；而擺5行、7行、8行……無法進行）

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答：有3種不同的拼法。

教師順勢拋出：“用36個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有幾種不同的拼法？用90個、1080個呢？”學生一臉惘然，不知所措。教師：“能不能不拼，也能解決上述問題？這就是今天這節課我們要研究的話題。”

師：剛才用12個小正方形拼時，第一種拼法中12、1、12這三個數分別表示什么意思？我們可以建構這樣的模型，把總數12分解成行數和每行個數相乘：12=1×12（板書）

師：第二、第三種拼的過程和結果你也能建構這樣的模型嗎？

教師根據學生回答相應板書：

12=2×6

12=3×4

師：看來要知道12個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有幾種不同的拼法，只要建構數學模型，把12進行分解，有幾個不同的分解式就有幾種不同的拼法！

生：那36個、90個也不需要拼了！（一生迫不及待地說）

師追問：在拼的過程中會不會出現小數如1.5行，分數■行這種情況呢？

生1：不可能！因為我們在拼的過程中無法拼成小數或分數行。（略顯激動地說）

生2：我也覺得不可能，并且在每行個數中也不可能出現小數或分數。（其余學生紛紛點頭）

師繼續追問：那會不會出現拼0行？或每行0個？

生異常激動：絕對不可能！拼0行、每行0個都毫無意義呀！

師見時機成熟，小結：老師非常認同大家的觀點，分解時只能把“非0自然數”進行分解，而分解的結果也肯定是“非0自然數”的乘積！

師：今天我們研究的這些數都有特定的名稱，如12=3×4中，12分別是3和4的倍數，3和4分別是12的因數。（板書：倍數和因數）（揭示課題）

師：12=1×12，12=2×6這兩道分解式你也能分別說一說誰是誰的因數，誰是誰的倍數嗎？（同桌互相說一說）

師小結：為了研究的需要，我們在研究倍數和因數時，所說的數指的是“非0自然數”。

二、分析感悟

這位教師的處理與別的教師迥然不同，他不再安排具體的手頭操作活動，而是讓學生直接在腦海中進行思維的擺放，利用多媒體課件呈現學生的思維過程。從最簡單的擺法入手，學生馬上想到擺一行，每行12個。然后老師順勢引導還可以擺幾行，每行擺幾個？學生不費吹灰之力想到了可以擺2行，每行6個；還可以擺3行，每行4個……這樣的導入簡明、有效，另外從行數入手進行有序思維更符合四年級學生的認知觀！緊接著教師提出：用36個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有幾種不同的拼法？用90個、1080個呢？學生頓覺束手無策時教師悠然自得地拋出：“這就是今天我們要研究的話題！”學生在期盼中進入了下一個環節：把12個同樣大小的正方形拼1行每行12個，就是把12分解成1乘12，把拼的過程和結構用數學模型建構成12=1×12，依次又得到另外兩個模型12=2×6，12=3×4。此時學生明白了原來要知道12個同樣大小的正方形拼成一個長方形，有幾種不同的拼法？只要建構數學模型，把12進行分解，有幾個不同的分解式就有幾種不同的拼法！面對類似的問題只要分解，不需要拼！雖說動手操作是解決數學問題的法寶，但僅僅停留在操作層面的操作是低級的，數學思維才是高級的！教師見時機成熟繼續追問：在拼的過程中會不會出現小數如1.5行，分數■行這種情況呢？會不會出現拼0行？或每行0個？學生毫不含糊地回答到：“不可能！”“絕對不可能！”

在“思維的操作”中、在“分解式的書寫”中、在“模型的建構”中，學生清晰地建構了“倍數和因數”的概念，明確了倍數和因數的研究必須是在非0自然數領域，是為了“研究的需要”而并不是為了“研究的方便”。

（作者單位 江蘇省常州市新北區安家中心小學）

？誗編輯 謝尾合