小數除法余數問題探微

〔關鍵詞〕 數學教學；小數除法；余數

〔中圖分類號〕 G623.5 〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2013）22—0091—01

在小數除法中，是根據商的性質，把除數是小數的除法轉化成整數來計算的。可是在處理余數時很多學生容易出現錯誤，這也是教師教學時容易忽視的地方。如，計算2.8除以0.9，學生列出豎式計算后，立刻會有一些學生不假思索地說出商是3，余數是1；也有一些學生說出商是3，余數是0.1。之所以會出現這兩種情況，究其原因是學生對小數的意義理解不深刻，對有關基本概念沒有理清楚。那么，如何引導學生正確認識和理解小數除法中的余數呢？我認為，應從以下幾個方面去啟發和引導學生。

一、從小數計算單位的角度去思考

例如，如何使學生認識下式中的余數是0.68，而不是68。

55.28÷7.8=7……0.68

說明途徑：55.28由5528個0.01組成，余下的是68個0.01。

如，計算2.8除以0.9，學生列出豎式計算后，教師引導學生分析算理。被除數2.8是一個表示十分之幾的數，它的計算單位是十分之一（0.1），說明2.8是由28個0.1組成的。這樣當商為3時，余下來的“1”并不是表示1個1，而是表示1個十分之一（0.1），即余數是0.1。

二、從商不變的規律去思考

根據“被除數和除數同時擴大相同的倍數商不變”的規律思考：這道題運用到商不變的規律，被除數和除數同時擴大了10倍，商雖然是不變，但余數卻跟著擴大了10倍。當要寫出余數時，應該把擴大后的余數縮小10倍，才能得到正確的余數。如果列豎式計算，余數對應到最原始的被除數上，則很容易理解正確的余數。

（一）“在有余數的除法中，如果被除數和除數都擴大（或縮小）相同倍數，雖然不完全商不變，但余數卻隨著擴大（或縮小）相同倍數”。因此，教學時，教師可啟發學生把2.8和0.9都擴大10倍，使除數變成整數，即2.8÷0.9=28÷9。這樣當商為3時，余下來的數雖然從表面上看起來是1，但是透過現象看本質，會發現這個“1”是被除數和除數同時擴大10倍以后的余數，當要寫出余數時，應該把擴大后的余數縮小10倍，由此得到0.1才是正確的余數。

（二）從生活情境中體會余數。

例如，小明拿著10元錢去幫媽媽賣藥，每盒藥0.9元，問可以買幾盒？還剩多少錢？

按豎式結果得出來：10÷0.9=11（盒）……1（元）（不正確）11盒藥就要9.9元，不可能余1元，余數應該是0.1元。

根據算理，尋找原因如下：

我把一個學生的豎式投影到黑板上，提示學生對照豎式，想每一步的算理：

1.除數0.9去掉小數點，擴大10倍，變成9，被除數也要同時擴大10倍，小數點也要向右移動一位；

2.除數0.9去掉小數點變成9，就好比是0.9元化成9角，那么10元的小數點也向右移一位，就好比10元化成100角；

3.100÷9=11……1，余數就是1角，也就是0.1元。

三、根據“被除數=商×除數+余數”來驗證，找到正確答案

由“商×除數+余數=被除數”得出 ： 3×0.9 +（ ）=2.8 ，如果余數是1，結果就是3.8，與題目不符合。只有當余數是0.1時，結果才正確。

當除數擴大了10倍，被除數也同時擴大了10 倍，盡管商沒變，結果引起余數也擴大了10倍。也就是說，余數只有縮小10倍，才是正確的結果。

四、整數除法和小數除法中余數的比較

1.在有余數的除法里有這樣兩個規律：（1）被除數=商×除數+余數；（2）被除數和除數同時擴大（或縮小）相同的倍數商不變，余數也同時擴大（或縮小）相同的倍數。

例如，0.25÷0.04=6……0.01

2.5÷0.4=6……0.1

25÷4=6……1

250÷40=6……10

2500÷400=6……100

2.整數除法中余數的變化規律

25÷4=6……1

250÷40=6……10

2500÷400=6……100

3.小數除法中余數的變化規律

在有余數的小數除法中，余數還與所除到的商的位置有關系。例如，

0.73÷0.9=0.8……0. 1

0.73÷0.9=0.81……0.001

？笙 編輯：謝穎麗