在平方差公式教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

【摘要】 在平方差公式教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法的做法：設(shè)計(jì)競爭情境，讓學(xué)生在計(jì)算比賽中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透探索發(fā)現(xiàn)的研究方法；對符號□、△進(jìn)行變化，滲透變量變換思想；引導(dǎo)學(xué)生對平方差公式進(jìn)行證明，滲透邏輯思維方法；在平方差公式的應(yīng)用中滲透整體思想.

【關(guān)鍵詞】 平方差公式；數(shù)學(xué)思想方法；教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)從根本上講就是獲得數(shù)學(xué)的思想和方法，并用以指導(dǎo)工作和生活.因?yàn)槿藗冊谏鐣钪行枰獢?shù)學(xué)式的思維，也就是用數(shù)學(xué)的思想和方法去看世界.

中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容（基本要求）的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識又蘊(yùn)載著思想方法，二者好比鳥之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來看，數(shù)學(xué)的思想方法比數(shù)學(xué)知識更為重要. 這是因?yàn)橹R的記憶是暫時的，思想與方法的掌握是永久的；知識只能使學(xué)生受益于一時，思想與方法將使學(xué)生受益于終生.日本學(xué)者米山國藏指出：“無論是對于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識只是第二位.”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾作過統(tǒng)計(jì)，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的（包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)）約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識.正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生——未來用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識（即指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).本文就“平方差公式”教學(xué)（略去了其詳細(xì)的教學(xué)過程）中如何滲透數(shù)學(xué)思想方法作一探討.

一、設(shè)計(jì)競爭情境，讓學(xué)生在計(jì)算比賽中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，滲透探索發(fā)現(xiàn)的研究方法

在數(shù)學(xué)中，探索發(fā)現(xiàn)是一種基本的研究方法. 在數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中，有意識引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)，對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力十分有益.

在“平方差公式”這節(jié)課教學(xué)的開始，教師用電腦顯示下面的十道計(jì)算題：

讓學(xué)生之間開展競賽，比準(zhǔn)確，比速度，比技巧，要求學(xué)生在十分鐘內(nèi)做完，并請做好的立即舉手，對解題既快又準(zhǔn)確的同學(xué)，教師問其成功的秘訣，請他們說出在解題過程中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并有意用符號□、△表示其規(guī)律，即（□ + △）（□ - △） = □2 - △2.

設(shè)計(jì)競爭情境，使枯燥的運(yùn)算變得生動活潑.學(xué)生在觀察、歸納、猜想的探索中理解了平方差公式的結(jié)構(gòu)特征，同時也提高了數(shù)學(xué)研究的能力.

二、對符號□、△進(jìn)行變換，滲透變量變換思想

變量與常量既對立，又統(tǒng)一. 辯證地看待字母——它具有常量與變量的雙重身份，常給我們研究問題帶來很大的方便.在平方差公式的學(xué)習(xí)中，學(xué)生往往不能用“變”的觀點(diǎn)來看待平方差公式中的字母，因而往往也不能用公式的結(jié)構(gòu)特征來判斷題目能否使用公式. 鑒于學(xué)生對平方差公式的理解不能一步到位的原因，筆者先有意識地用學(xué)生在小學(xué)里學(xué)過的、熟悉的符號□、△來表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，再引導(dǎo)學(xué)生對符號□、△進(jìn)行變化而得到不同的等式. 目的是有意識地滲透變量變換的思想方法，同時也為下面運(yùn)用平方差公式解題而涉及的整體思考方法作鋪墊.

于是，令□、△分別變成100和1，得到等式

得到上面的等式后，教師讓學(xué)生歸納得出：□處是同一數(shù)或式子，△處也是另一個數(shù)或式子. 然后教師啟發(fā)學(xué)生用字母來表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（使學(xué)生理解一個字母可以代表一個數(shù)，也可以代表一系列的數(shù)或式子等），得到（a + b）（a - b） = a2 - b2.接著，教師又請學(xué)生對公式（a + b）（a - b） = a2 - b2進(jìn)行命名，由此引出課題：平方差公式.

引導(dǎo)學(xué)生將發(fā)現(xiàn)的規(guī)律（□ + △）（□ - △） = □2 - △2 中的符號□、△看作變量，進(jìn)行變量變換，能使學(xué)生正確理解公式中字母的廣泛含義，理解其背后隱含的數(shù)學(xué)思想方法.

三、引導(dǎo)學(xué)生對平方差公式進(jìn)行證明，加強(qiáng)邏輯思維方法

經(jīng)過學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的公式，無論從思想感情上，還是在學(xué)習(xí)興趣上，都要比直接給出公式再加以證明更富有吸引力. 數(shù)學(xué)創(chuàng)造往往開始于不嚴(yán)格的發(fā)散思維，而繼之以嚴(yán)格的邏輯分析思維，即收斂思維，有了猜想的結(jié)果，猜想正確性的證明就變成了學(xué)生自發(fā)的需要.先猜，后證，這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道.于是有

證法1：（a + b）（a - b） = a2 + ab - ab - b2 = a2 - b2.

證法2：（a + b）（a - b） = （a + b）a - （a + b）b = a2 + ba - ab - b2 = a2 - b2.

證法3：引導(dǎo)學(xué)生將課前發(fā)給的圖形（硬紙板，圖甲）沿虛線剪開，然后用剪開后的兩個長方形拼成圖乙的長方形得到a2 - b2 = （a + b）（a - b）.

優(yōu)美的圖形，無字的證明，這不但能提高學(xué)生的形象思維能力，而且給學(xué)生以數(shù)學(xué)美的熏陶，同時數(shù)形結(jié)合的解題能力也得到了提高.

四、在平方差公式的應(yīng)用中滲透整體思想

整體的思想方法是指在研究問題時有意識地放大考察問題的“視角”，將需要解決的問題看作一個整體，通過研究問題的整體形式，整體結(jié)構(gòu)，并注意已知條件及待求結(jié)論在這個“整體”中的地位和作用，然后通過對整體結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)或轉(zhuǎn)化使問題獲解. 有些數(shù)學(xué)問題，表面上看較復(fù)雜，若能注意到題目中的整體所在，利用整體思想去把握，則能化繁為簡，化難為易.通過上面對符號□、△進(jìn)行變換，把字母變成數(shù)或代數(shù)式的鋪墊，現(xiàn)在反過來，將某些代數(shù)式看作一個字母，利用整體思想去思考，那么學(xué)生的思維也就自然而流暢了.

于是，設(shè)計(jì)下面的問題讓學(xué)生計(jì)算，即

通過上面這些問題的解決，啟迪了學(xué)生的思維，加深了學(xué)生對平方差公式的理解，使學(xué)生從單純的死記硬背走向深刻理解公式本質(zhì)的記憶.

當(dāng)學(xué)生經(jīng)歷一個活動過程之后，并不能馬上形成活動經(jīng)驗(yàn)，但在教學(xué)時適度引導(dǎo)，例如，通過前面對符號□、△進(jìn)行變換活動的鋪墊，再讓學(xué)生在平方差公式的應(yīng)用中運(yùn)用整體思想，這樣學(xué)生就可以迅速感悟整體的數(shù)學(xué)思想方法，并把這個活動過程逐步內(nèi)化為經(jīng)驗(yàn).

學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法水平的提高是學(xué)生創(chuàng)新能力發(fā)展的主要內(nèi)容.因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，提高學(xué)生的思維調(diào)控水平，從而培養(yǎng)他們的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力. 在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽創(chuàng)設(shè)寬松的民主氣氛，使學(xué)生敢于、樂于思考和討論，讓他們的思維進(jìn)入自覺的思維情境中，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法.

【參考文獻(xiàn)】

[1]宋乃慶，朱德全.論數(shù)學(xué)策略性知識的學(xué)習(xí)[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報，9（2）.