分類討論思想在初中數學教學中的滲透

數學課程標準的總體目標明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識（包括數學事實、數學活動經驗）以及基本的數學思想方法和必要的應用技能……”并且把這個目標放在第一條. 那么數學思想方法是什么？雖然我們不能嚴格地表述數學思想方法的概念，但我們能知道這個解決問題的方法包含數學思想，哪個解決問題的辦法沒有用到數學思想方法. 比如，學生在計算|a| + a時，能分a > 0，a < 0，a = 0三種不同的情況來分別計算，我們則認為學生能用分類討論的思想來解決這個問題了. 反之，學生算得結果為2a，我們就認為他不會用分類討論的思想來解決這個問題. 我們認為，結合數學課堂教學進行數學思想方法的滲透對于學生數學思想方法的獲得和運用是大有幫助的. 最近，聽了本校幾節數學公開課，覺得我們在教會學生數學思想方法方面應該有些事情可做. 本文將結合教學案例談談在課堂教學中滲透分類討論的數學思想方法的一些體會.

一、創設情景，高屋建瓴

1. 案例：兩直線平行的判定（2）

學生已經學習了判斷兩直線平行的第一種方法，即“同位角相等，兩直線平行”，這節課是兩直線平行的判定的第二課時.

2. 教學流程

（1）復習

①讓學生指出圖1中的同位角、內錯角、同旁內角.

②教師問：當∠1 = ∠4時，直線l1與l2是什么關系？

（2）新課

①教師讓學生拿出一本書，讓學生想想：怎樣才能知道你拿出來的這本書左右兩邊的邊線是否平行呢？（教師提示學生可以使用直尺、三角板、量角器等工具）

②學生經過小組探究后，派代表報告探究過程及得到的結論.

③教師和學生一起歸納總結，板書：“內錯角相等，兩直線平行”、“同旁內角互補，兩直線平行”.

④師生共同證明剛剛得到的兩個命題.

⑤講解例2.

（3）課堂練習（略）.

（4）反饋、訂正（略）.

（5）總結歸納（略）.

（6）作業布置.

3. 評 析

課后，大家覺得這節公開課上得還不錯，學生掌握了知識，邏輯推理能力得到了增強，學生合作探究發現知識，通過討論增長見識.教師主導，學生主體地位明顯，學生學習主動有效.但我們也覺得如果能在分類討論的數學思想方法滲透方面做些工作，這節課會更好.

課本在介紹平行線的概念時，讓學生做實驗，轉動圖2中的直線a，讓學生看到兩條直線a，b的位置關系有兩種情形，相交（如圖4）和平行（如圖3），在學生獲得平行線的概念后介紹了平行公理. 接著讓學生用直尺和一個三角板畫兩條平行直線，引導學生得到“同位角相等，兩直線平行”.

本節課是第二次探討平行直線的判斷辦法，不能簡單地重復上次課的辦法，我們可以通過創設情景的方法，滲透分類討論的思想方法，讓學生受到數學思想方法的熏陶. 我們可以在幾何畫板上作出圖5，轉動直線a讓∠2 = ∠7，這時教師讓學生觀察圖5，猜想：直線a，b的位置關系怎樣？轉動直線a讓∠2 ≠ ∠7（如圖6），讓學生觀察圖6，猜想：直線a，b的位置關系怎樣？學生經過討論和交流，會得到 “內錯角相等兩直線平行”、“內錯角不相等兩直線相交”的結論，進一步歸納出判斷兩直線平行的第二種方法. 這個過程實際上是把內錯角分為相等和不相等兩種情況進行討論，是分類討論的思想. 這樣設計教學，能從思想方法的高度來審視教材，組織教學，學生認識更全面深刻，知道研究兩直線位置關系可轉化為研究內錯角. 同樣辦法可得到第三種判斷兩直線平行的判定方法，“同旁內角互補，兩直線平行”.

二、組織討論，提高分類討論的思想意識

在聽課的過程中，我們看到有的課純粹是為了討論而討論，只是簡單地讓學生發表看法而已，老師只是非常簡單的評價，“很棒”、“大家鼓掌”……能不能把學生的各種想法分出類型進行再次探討，從而得出結論，提升學生的知識水平和分類討論的意識？

1. 在概念教學的過程中，要讓學生了解、掌握、運用概念，除了讓學生掌握概念的內涵，還得讓學生了解概念的外延，而了解概念的外延的一個非常重要的方法就是把概念包含的對象分類. 有時我們甚至就用揭示概念的外延的方法來定義概念. 比如，有理數的概念是這樣定義的：整數和分數統稱為有理數. 這樣一分，學生對有理數的理解就很清晰了. 在教學中，我們應當引導學生表達各種不同的看法，并學習分類討論，這樣便于學生了解概念的發生、發展的過程，看到不同的概念之間的聯系和區別，從而提高學生分類討論的數學思想意識，提升學生思維的嚴密性和深刻性. 在組織學生討論時，我們應注意：（1）讓學生了解這個概念的屬概念；（2）讓學生了解這個概念的種概念.

在相似三角形的概念的教學中，借助多媒體平臺，分別出示圖7、圖8、圖9、圖10，讓學生猜：b三角形與a三角形有什么關系？并讓學生在電腦上操作驗證. 通過討論和驗證，學生知道圖7中的b平移后與a重合；圖8中的b平移且旋轉后與a重合；圖9中的b平移、旋轉、縮放后與a重合；圖10中的b平移、旋轉、縮放后仍不能與a重合. 然后讓學生分別就7，8，9這三個圖中的兩個三角形的邊長和角的特征進行探討，最后得出相似三角形的概念.

這樣教學，學生知道了三角形可以分為相似三角形和不相似三角形兩類，相似三角形的屬概念是兩個三角形的關系，全等是相似三角形的種概念，對相似三角形的認識和理解也就更深刻了，還學習了利用平移、旋轉、縮放的辦法來研究兩個圖形的關系. 課堂不再是為討論而討論了，學生參與了一次分類討論的過程，得到了分類討論的思想的熏陶.

2. 在定理、性質、公式、方法的教學中，我們一定要讓學生知道這個定理、性質、公式、方法是做什么用的，需要什么條件，特別是條件不確定時，我們應該怎么辦，這個時候就需要教師抓住問題的關鍵，組織學生進行討論. 組織學生討論時我們要注意：（1）讓學生了解為什么要討論；（2）讓學生了解分類討論的標準.

例如一元二次方程的解法，有求根公式法、因式分解法、配方法，這些都是解一元二次方程的方法. 在教學中我們會發現學生往往不注意這些方法都是解一元二次方程的方法，在不能確定方程是一元二次方程的情況下，學生仍使用這些方法求解，從而得到錯誤的答案. 在教學二次函數時，針對學生求解一元二次方程的上述短板，筆者設計了下面例題：求函數 y = （k - 1）x2 + kx + 1 的圖像與x軸的交點坐標.

當然，在數學教學中滲透分類討論的數學思想方法絕對不僅僅只在創設情景、組織討論方面，更需要教師在日常教學中樹立滲透分類討論的數學思想的觀念，使分類討論活動貫穿在教學的各個環節中. 這樣學生才能獲得分類討論的思想方法，數學教學才能更好地落實數學課程標準的總體目標.