解方程教學三步曲

《數學課程標準》第二學段（4～6年級）數與代數的內容標準中提出：理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程（如3x + 2 = 5，2x - x = 3）. 經過數次教學北師大版教材四年級下冊的認識方程這一部分內容，對教材中回避“求減數”和“求除數”產生疑問，而在實際教學中卻屢次與“a - x = b”和“a ÷ x = b”之類的方程相遇.

第一堂課：猶抱琵琶半遮面

新課程改革之后，一些專家認為：小學用算術的思路解方程，到了中學卻是用“等式的基本性質或方程同解原理”來解方程，因此，小學的用算術法解方程的方法掌握得越牢固，對代數起步教學的負遷移越明顯. 為了避免“同一內容，兩種算理兩種思路的現象”，《全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）》明確指出“理解等式的性質，會用等式的性質解簡單的方程”. 根據這一指導思想，北師大版的教材進行了調整：不出現如“a - x = b、a ÷ x = b”之類的方程.

然而，回避并不能解決現實中的問題，在教學中，這兩種“另類”方程還是羞答答地粉墨登場了.

根據等量關系：2包爆米花的錢 + 1個漢堡的錢 = 一共的錢，大部分學生列出了方程：2x + 7 = 11. 但也有學生認為11 - 2x = 7也可以. 問其原因，他回答說：“我是根據一共的錢有11元，減去2包爆米花的錢2x元，還剩7元正好可以買1個漢堡，所以是11 - 2x = 7. ”其他同學也紛紛承認言之有理，我保留了他的想法，并刻意說了一番，其實兩者是可以轉換的. “老師，一定要轉換嗎？我就這樣列式行不行？”

學生對于老師這種“猶抱琵琶半遮面”的解釋不太滿意，尤其有種要揭“廬山真面目”的渴望. 在平時的練習中，我總是會多問一句：“有沒有不同的方法？”今天這習慣性的一問，似乎為自己找了麻煩，教材中可是回避這類方程的……

第二堂課：山重水復疑無路

出現了例1中的方程，我覺得刻意回避“a - x = b、a ÷ x = b”之類的方程是行不通的，有必要說說它的解法，就特地在課余時間讓學生解最簡單的方程，4 - x = 2 和0.4 ÷ x = 2. 還沒開始解，學生就喊：“第一題是x = 2，第二題是x = 0.2. ”當要求寫出過程時，即使喊得最響的學生也無從下手. 有寫成4 - x - 4 = 2 - 4的，也有寫成4 - x - 2 = 2 - 2的，最終是莫名其妙地得出x = 2，其實還是一眼看出來的.

我煞費苦心地講解，讓學生采取以下解法：

難道真的要回避“a - x = b和a ÷ x = b” 之類的方程嗎？在學生列出這類方程時對他們說：“這類方程還沒學到，請換另一種方法. ”這樣做無疑會打擊學生的學習積極性，而且在他們看來，諸如 “4 - x = 2”“0.4 ÷ x = 2”之類的方程應該也算簡易方程，怎么會還沒學到呢？揪出錯誤的根源即學生對等式的性質理解不透徹，我重整思路，采取了以下處理方式：

首先，學生頭腦中必須牢固建立“天平原理”即“等式的基本性質”，要求每名學生都會解答x + a = b，x - a = b，ax = b，x ÷ a = b這四類方程.

課堂上，我出示一組方程：

5.6 + x = 7.3；② x - 2.9 = 4.8；③2.5x = 6.4；④x ÷ 7 = 0.3.

讓學生認真解答，并說出每一步過程.

接著出示：⑤23 - x = 9；⑥80 ÷ x = 4.

讓學生找出方程⑤⑥和方程①②③④的相同點.

生1：未知數在運算符號的后面，與方程①③相似.

師：那同學們看方程①和方程③還可變成什么形式？

生2：方程①還可變成x + 5.6 = 7.3，方程③可變成x × 2.5 = 6.4.

方程①與③可以運用加法交換律和乘法交換律進行變形. 學生還發現方程⑤⑥和方程①③不同，不能交換未知數與已知數的位置.

師：那方程⑤與方程②，方程⑥與方程④分別又有什么聯系呢？

學生很快發現每組方程運算符號分別相同；方程②的未知數是被減數，方程⑤的未知數是減數；方程④的未知數是被除數，方程⑥的未知數是除數.

通過上述觀察對比，讓學生對不相同的另兩種類型方程的特點有所注意，然后統一算法，提示學生運用天平原理來解題.

學生提出解方程23 - x = 9要在等號兩邊同時加上一個數. 有的提出要同時加23，師生演算發現，方程23 - x = 9 變成了46 - x = 41，沒有讓方程的一邊只剩下x. 馬上又有學生提出來要同時加x，于是順利得到下列解法：

最后小結：x - a = b與a - x = b的算法相同，方程兩邊同時加一個數；x ÷ a = b與a ÷ x = b方程兩邊同時乘一個數. 這個數可以是已知數，也可以是未知數.

這樣一節課后，作業的錯誤率明顯降低，學生對等式的性質有了更深刻的理解. 通過比較、分析、猜測、遷移，這兩類教科書一再回避的方程難題亦迎刃而解. 作為教師，我們要基于學生的“已經會什么？還想學什么？”找準學生學習知識的“最近發展區”，通過親歷數學模型的建構，讓學生知道“然”，更讓學生明白“之所以然”. 教師不必完全拘泥于《教師用書》的要求，對a - x = b和a ÷ x = b的類型刻意加以回避，大膽面對，注重遷移，科學推導，學生照樣學得輕松，學得著迷.