問題驅動復習，關注有效教學

“解三角形”是高中的重要內容之一. 由于這部分知識相對簡單，概念復習課往往不被老師重視，或以學案的形式讓學生自己整理，或師生一起回憶公式定理. 我個人認為，在核心概念的復習上要舍得花時間. 章建躍博士說，數學要“講背景，講思想，講應用”. 我對這一章進行了深入的思考和挖掘.

人教A版“解三角形”一章分3節，分別是：1.1正弦定理和余弦定理，之后安排了探究與發現“解三角形的進一步討論”；1.2應用舉例，之后安排了閱讀與思考“海倫和秦九韶”；1.3 實習作業. 課標的要求是“學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，并認識到運用它們可以解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題”. 仔細研讀課本和課標，不難發現，“解三角形”一章其實是初中知識的延伸. 初中介紹了三角形全等的判定方法：SSS，SAS，ASA，AAS（S為邊，A為角）. 它們既然可以判定三角形全等，言外之意是已知這三個元素，該三角形的大小、形狀就唯一確定了. 那怎么求另外三個元素呢？初中已經解決了特殊的直角三角形問題. 在這一背景下，高中非常自然地把它擴充到了任意三角形，引出了余弦定理和正弦定理，并通過這兩個有效的工具使問題得到解決. 更進一步，我們知道SSA，AAA不能作為三角形全等的判定方法. AAA對學生來說理解不是難事，而SSA就相對復雜，言外之意是在已知SSA的情況下，這樣的三角形還沒有唯一定下來（除直角三角形），從而順理成章地引發“探究與發現”的討論. 這樣從三角形的學習歷程不難發現，從初中的三角形全等、相似、解直角三角形，再到高中的利用正余弦定理解一般三角形，從定性分析到定量研究，充分展現了三角形的重要地位，體現了知識的螺旋上升，最后又水到渠成地落實在解三角形的應用上.

如何展開有效復習，讓學生興趣盎然的參與其中，在創設的情境中主動學習，這里復習主線很重要. “問題是數學的心臟”，因此我設計如下的教學過程，分三個課時完成，用一連串問題驅動復習，融概念復習和例題復習于一體，使整個章節和初中的三角形知識有機統一. 現整理成文，不當之處懇請同行批評指正.

問題1 初中我們學過哪些判定三角形全等的定理？如果已知這些判定定理的條件，如何求解三角形？工具是什么？如何操作？解是否唯一？如何證明正弦和余弦定理？

設計目的：復習應該跳出課本，把握全局，讓學生深刻體會知識的內在聯系，體會“定性分析到定量研究”，高屋建瓴地審視“解三角形”一章. 同時借這一契機，在求解過程中復習正余弦定理. 這比單純地引出正余弦定理公式和空談它們的作用對學生更有吸引力，實效性也更強. 在證明正弦和余弦定理的過程中讓學生充分體會向量工具性的體現.

問題2 SSA能作為三角形全等的判定定理嗎？如果作為已知條件去求解三角形，如何操作？解的情況怎樣？

設計目的：除了直角三角形，這一問題不好解決，為此課本通過“探究與發現”展開解三角形的進一步討論，采用代數的方法加以研究，當然我們還可以通過幾何的直觀性進一步加以驗證. 這對學生來說是個難點，可以讓學生從理論和實踐兩個方面深刻體會已知SSA類的解三角形問題，并學會自己總結解決這類問題的好方法.

問題3 正余弦定理是邊角關系的基本定理，在解三角形中發揮了巨大的作用. 除了最簡單的三角形“知三求三”（其中至少有一條邊）問題外，我們還經常碰到相對復雜的求解問題，常與三角函數、向量、不等式、方程等知識結合起來綜合考查，你對這類題關注度如何？

設計目的：解三角形問題是高考必考內容，目前考查的重心還是正余弦定理. 這道例題正充分體現了正余弦定理的邊角互化，體現了方程的思想，轉化與化歸的思想，是一道較為典型的題. 但據統計，例1在高考中滿分14分，全省平均得分只有8分，難度系數只有0.57. 所以對這類題目，我們切勿掉以輕心，一定要進行強化訓練.

問題4 除了正余弦定理，我們還有其他的工具嗎？請大家證明課后習題（射影定理）：在△ABC中，求證：a = b cos C + c cos B，b = c cos A + a cos C，c = a cos B + b cos A.

設計目的：課本中只講正余弦定理，而把射影定理處理為一個習題，甚至連名稱都沒有給出. 事實上，射影定理和正余弦定理是邊角關系的三大重要定理.由于沒有名稱，學生往往不夠重視，基本上把它等同于一般的習題.射影定理的三個公式證明簡潔，輪換對稱，記憶方便.我覺得射影定理應有它該有的地位.同時，這一問題確確實實是又一次鞏固正余弦定理的好機會. 我們可以通過多種途徑入手證明. 如在解題時能根據題設特征靈活地加以應用，則常常能出奇制勝，快速解題.之后我安排若干例題和習題學以致用，加深射影定理的理解和掌握，以下例題可供參考.

問題6 除此之外，我們還經常碰到三角形邊角關系恒等式的證明題，尤其是一些有關解三角形的應用題，你清楚仰角、俯角、視角、方位角、坡度、坡角等術語嗎？

設計目的：解三角形的應用問題也是近幾年高考的新寵. 正余弦定理在測量距離、高度、角度等實際問題中發揮著重要作用，這些題也成為了高考命題的熱點. 我安排若干應用題，在解題中滲透方法. 而學生平時對這類題重視程度不夠，練習中往往跳過不做，數學建模能力相對薄弱，特別這里涉及了一些專業術語的含義，應用問題的復習也刻不容緩.

練習4 某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔頂的最大仰角為30°，求塔高.

以上我通過問題驅動，一條主題清晰明了，讓學生對知識的來龍去脈有個相對透徹的了解，居高臨下地看待三角形問題，在問題解決中領悟本質，提升能力.

總之，高三的科學復習是我們每個人心中的牽掛，追求優質教學永無止境.回顧“解三角形”這一章，真的是可以用一首詩來總結：小小三角藏奧妙，破解邊角有訣竅.弦式定理一座橋，射影同樣不忘掉.余弦定理平方配，齊式出現正弦到.孿生兄弟射影巧，坐標實在很重要.善于轉化見奇道，走出百慕大三角.