構建生態化問題驅動的數學課堂

“生態化問題驅動數學課堂教學”即是基于課堂教學的特殊生態特征，以生活化、情境化、生本化為基本要素，將高度抽象概括的數學知識以問題為驅動，依托學生熟悉的自然、生活經驗以及固有的心理成長特點，借助師生雙邊有效活動，使知識呈現和新知建構、學生能力提升和個性張揚等以形象、生動、直觀、和諧、簡約的方式得以展現的課堂教學模式. 數學課堂不僅是生動活潑的，也應是學生思維高度運轉的、不斷升華的課堂，缺失思維含量或者思維含量不高的數學課堂顯然有悖于數學學科的本質特征.以下僅以一堂公開課“5.5直線與圓的位置關系（一）”為例.

問題一 欣賞《海上日出》，從動態演示中你看到地平線與太陽的位置關系是怎樣的？

子問題：1. 你能利用手中的工具再現有關日出的情境嗎？2. 由再現的過程，你認為直線與圓的位置關系可以分為哪幾類？3. 你分類的依據是什么？（安排小組討論）

學生通過一系列的問題驅動，通過小組合作交流，逐漸探索出三種位置關系以及分類標準.

生1：按直線在圓內、直線在圓外、直線在圓上分類.

生1形象的類比“點與圓的位置關系”，認為直線與圓相切叫在圓上，直線與圓相交叫在圓內，直線與圓相離叫在圓外.

師：（用問題驅動學生自己發現這樣分類的不足）直線在圓內時，直線上所有點都在圓內了嗎？生1：這樣分類有欠缺，可以按交點個數分三類.

師：你能給這三類各起一個名字嗎？生2：外離，切一點，相交.

師：很形象，可以更改成同一類比的名字嗎？生：相離，相切，相交.

師：你能用直線與圓的位置關系描述生活中的哪些現象？舉例說明. 生3：請勿吸煙的標志. （直線與圓相交）

師：很好，大家看階梯教室墻上就有. （公開課正好在階梯教室上）生4：火車在鐵軌上運動. （直線與圓相切）生5：乒乓球在桌面上彈起. （直線與圓相離）生6：刀切黃瓜，三種位置關系都有.

師：你能上臺演示嗎？用一張紙卷成一個“黃瓜”，用筆作刀. 生6：做了一遍動作.

師：怎么沒有聲音呢？生6：邊演示邊說明三種位置關系. 師：切黃瓜和海上日出有什么共同點與不同點嗎？生7：共同點是在動態中都有三種位置關系，不同點是一個是圓動，一個是直線動.

問題二 上述變化過程中，除了公共點的個數發生了變化，還有什么量在變化？如何變化？從變化的量和變化的位置關系中你發現了什么？

子問題1：你準備用什么樣的數學思想方法去探究？

生：類比.

子問題2：與什么做類比？

生：類比點和圓的位置關系.

子問題3：如何類比？（安排小組合作學習）

由第一小組作報告歸納：如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么直線與⊙O相交 ？圳 d < r；直線與⊙O相切 ？圳 d = r；直線與⊙O相離 ？圳 d > r.

生8：提出可以將直線看成是一個點，就是圓心到直線的垂線段的那個垂足.這樣就將直線與圓的位置關系轉化為 點和圓的位置關系.

師：充分肯定生8的想法.

師：轉化是數學中一種重要的思想方法，它會簡化很多的數學難題.

問題三 如何將發現的結論用于實際問題中？

子問題1：練習感悟

1. 已知圓的直徑為12厘米，設直線和圓心的距離為d.

（1）若d = 4.5厘米，則直線與圓______， 直線與圓有____個公共點. （2）若d = 6厘米，則直線與圓______， 直線與圓有____個公共點. （3）若d = 8厘米，則直線與圓______， 直線與圓有____個公共點.

感悟：判定直線與圓的位置關系的方法有幾種？

判定直線與圓的位置關系的方法有兩種：（1）根據定義，由直線與圓的公共點的個數來判斷；（2）根據性質，由圓心到直線的距離d與半徑r的關系來判斷.

子問題2：典型例題

構建生態化數學課堂，有助于改變當下我們數學課堂仍然以滿堂灌為主要教學特征的模式，對構建新型師生關系，發揮學生主體性，將數學學科高度抽象化的知識生活情境化、具體形象化、開放生成化，改善學生的習得方式，提高學生的習得效果都起到巨大的作用. 同時，以問題驅動為主線的數學課堂，不會背離數學學科的本質，使課堂教學更具科學性和思維的邏輯嚴密性，無疑對提升學生的思維和發現問題、解決問題的能力至關重要.