淺談如何巧加輔助線求解非直角三角形

【摘要】 解直角三角形一章在初中數學中占有舉足輕重的作用，通過添加輔助線把非直角三角形轉化為直角三角形求解是這一章的重點和難點，好多學生因為掌握不了輔助線的添加規律而苦惱. 本文就如何巧加輔助線將非直角三角形轉化為直角三角形求解的問題，談一談自己的觀點與看法.

【關鍵詞】 舉足輕重；轉化；規律

學習了解直角三角形后，有關直角三角形的計算我們可以用銳角三角函數的有關知識來解決. 在數學學習中，我們還經常會遇到銳角三角形或鈍角三角形的有關計算，那么這些不規則的三角形我們又應該怎樣求解呢？

求解不規則三角形的思想方法是：通過做適當的輔助線，把不規則三角形轉化為直角三角形. 好多同學為掌握不了輔助線的添加技巧而苦惱. 那么，添加輔助線的技巧是什么呢？

一、遇到特殊角30°，45°，60°，把特殊角置于直角三角形中

分析 由于∠B是特殊角，故考慮把∠B放在直角三角形中. 要達到這一目的，既可以過點A向BC做垂線，如圖2，也可以過點C向AB做垂線，如圖3. 在構造直角三角形時，我們盡量讓已知長度的線段AB，AC充當直角三角形中的元素，而不是把它們拆分（圖3中把AB拆分），故我們會選擇圖2中的構造直角三角形的方法.

例2 如圖4，在△ABC中，AC = 2，∠A = 60°，∠B = 45°，求AB的長.

分析 由于∠A，∠B兩個角都是特殊度數的角，我們要把這兩個特殊角分別置于兩個直角三角形中，能達到這一目的的輔助線只有一條，過點C向AB做垂線，從而使問題可解.

技巧 我們添加輔助線時，通常過非特殊角的頂點做高，而不會過特殊角的頂點做高，這樣，就不會把特殊角拆分成兩個一般的角. 構造直角三角形時盡量讓已知長度的線段充當直角三角形中的元素，而不把線段拆分.

二、遇到特殊角的補角150°，135°，120°，把鈍角的鄰補角置于直角三角形中

例3 如圖5，已知在△ABC中，∠A = 120°，AB = 2，AC = 4，求△ABC的面積.

分析 在本題中，∠A = 120°，是特殊角60°角的補角，我們既可以過點C向BA的延長線做垂線，如圖6，把∠A的鄰補角∠CAD置于直角三角形中，又可以過點B向CA的延長線做垂線，如圖7，把∠A的鄰補角∠BAE置于直角三角形中.

分析 由于∠A = 15°，∠C = 30°，可推導出∠B = 135°，顯然是45°角 的補角，要把135°角的鄰補角放到直角三角形中，既可以過點C向AB的延長線做垂線，也可以過點A向CB的延長線做垂線. 圖9所做的輔助線把15°角置于直角三角形中，而圖10所作輔助線把特殊角30°角置于直角三角形中，故我們選擇圖10 所作的輔助線.

技巧 遇到特殊角的補角150°，135°，120°，我們應將它們的鄰補角置于直角三角形中. 在把鄰補角置于直角三角形的兩種方法中，我們應優先考慮兼顧到把特殊角也置于直角三角形中的那種方法.

這樣，同學們遇到有關三角形的計算，只要先求出各個內角的度數，再按照上面所述的方法構造出直角三角形，有關三角形的計算問題便迎刃而解了.