審題、建模與反思

美國數學教育學家G·波利亞指出，掌握數學就意味著解題. 但數學問題千變萬化，無窮無盡. “題海”茫茫，要使學生身臨題海而得心應手，身居考室而處之泰然，就必須提高他們的解題能力.

一、認真審題，捕捉題中特征信息，優化解題思路

一個題無論是題設、結論，還是整體結構、數字特征、直觀圖像，都會給我們提供大量的信息，通過分析、聯想、想象等一系列思維活動，就可巧妙實現題設與結論之間的邏輯溝通，從而可優化解體思路.

例1 已知實數a，b，c滿足等式a = 6 - b，c2 = ab - 9，求證：a = b.

分析 仔細觀察題設與結論部分，從中可捕捉到不同的求解信息，以開拓解題思路.

信息1 由題設可知a + b = 6，ab = c2 + 9.

思路1 構造以a，b為根的一元二次方程x2 - 6x + c2 + 9 = 0，由a，b均為實數， 知Δ = （-6）2 - 4（c2 + 9） = -4c2 ≥ 0，從而得c = 0，Δ = 0，所以a = b.

信息2 由題設可知a + b = 6.

思路2 令a = 3 + m，b = 3 - m，則（3 + m）（3 - m） = c2 + 9，即m2 + c2 = 0，因此m = c = 0，所以a = b = 3.

信息3 從結論可知a = b，用辯證觀點思考a ≠ b.

思路3 假設a ≠ b，則a ≠ 3，b ≠ 3. 而c2 = ab - 9 = a（6 - a） - 9 = -（a - 3）2 < 0，此與c2 ≥ 0矛盾，所以a = b.

二、據題中信息、有關定義、公理和數學知識建立數學模型

數學在實際生活中的應用也可以說是一個數學建模的過程. 對一個實際問題，我們要將題中信息經過抽象、簡化，并依據某種規律建立變量和參數的一個明確的數學關系.

例2 不等式或不等式組模型. 如：某工廠現有甲種原料360千克，乙種原料290千克，計劃利用這兩種原料生產A，B兩種產品共50件. 已知生產一件A需要甲原料9千克，乙原料3千克，可獲利潤700元；生產一件B需要甲原料4千克，乙原料10千克，可獲利潤1200元. 現按要求安排A，B兩種產品的生產件數，有幾種方案？

模型分析：本問題是一個從利潤角度安排生產計劃的問題，問題涉及的量較多. 首先要明確變量和參數，設生產A種產品x件，則生產B種產品（50 - x）件，由于產品生產受到原料的限制，因此可建立不等式組的數學模型.

三、勤于進行解題反思

解題反思最直接的功能是簡化解法，優化認知結構，形成解題策略. 它是掌握解題規律、積累成功經驗和失敗教訓的過程.

例3 如圖1，在正方形ABCD和CGEF中，點M是線段AE的中點，連接MD，MF，試探究線段MD與MF的關系.

分析 可直觀地猜測線段MD與MF可能相等且垂直. 我們采用分析法進行證明. 結合基本幾何圖形，連接DF，如圖2，證明△MDF是等腰直角三角形. 取DF的中點K，只要證MK = ■且MK⊥DF即可. 如圖3，延長DM至N，使MN = DM. 連接FN，EN，即要證FD⊥FN，因此，只要證△FDC≌△FNE.

1. 反思思維過程，優化解題過程

以上分析先是利用幾何直觀猜想得出了結論，然后通過分析與綜合的方法來證明猜想. 其思路是這樣的，直觀猜想MD = MF，MD⊥MF——需證△MDF是等腰直角三角形——取中點K，需證MK = ■且MK⊥DF——需證FD = FN，FD⊥FN——需證△FDC≌△FNE——需證∠DCF = ∠NEF，且步步可逆. 從這里可知，既然FD = FN，FD⊥FN，即△DFN是等腰直角三角形，就可直接得出MD = MF，MD⊥MF，因此取中點K及證明△MDF是等腰直角三角形就成了多余的思維回路，刪除它便可得簡潔證法.

2. 反思題意，探求結論及證明方法

上面論證過程中構造了許多輔助線，那么這些都是怎么來的？我們只要分析圖1便可知上述結論并不依賴正方形CGEF的位置，因此我們可以把正方形CGEF繞C點旋轉使CD和CF在一條直線上，或使B，C，E三點共線，如圖4，都不難發現上述結論與證明方法，而且，這種思路是遵循從特殊到一般的思維過程，比起演繹系統的分析與綜合，這種方法知識要求較低，因而難度較小. 而特殊化的方法正是我們處理規律性問題常用的思維方式.

3. 反思解題過程，產生另類證法

反思證明二的過程我們知道，MD與MF的關系僅依賴中點M，在這里，MD，MF的地位是平等的，既然延長DM至N可論證，那么延長FM也同樣可證，如圖5.

4. 反思解題活動，擴大解題成果

由證明二和證明三的過程我們可以看出，MD與MF的關系只依賴于點M是線段AE的中點，AD = CD，AD⊥CD及FC = 因此，解題反思是解題過程中很重要的一個環節，是解題后的“反思總結”，是解題活動中的“元認知”. 通過它不但可以發現解題活動中的問題，更重要的是弄清了數學問題的深層結構.