淺談平面幾何證明中信息的處理

經過幾年來的教學，我發現對于初中學生來說，學習幾何最難的就是平面幾何的入門，許多成績較好的同學在剛剛學習平面幾何證明時往往會感到題意難以理解、無從入手，從而產生恐懼感. 這是由于學生在初步掌握有關論證推理的方法后，往往會受到三種阻礙思維發展的因素影響：（1）沒有主動地感知題意所供的信息，使思維停滯. （2）思維混亂. （3）缺少經驗和概括能力. 為了幫助他們克服這些困難，我認為他們在學習過程中應注意信息在以下三個環節的處理.

一、仔細審題、斟酌圖形，揭示關系

最大限度地抽取對解題有用的信息，是完成平面幾何證明的一個基本前提. 許多初學者看到題目常常不知所措，無從下手，他們不善于感知或意識到題目中隱蔽著的關系，甚至一些十分明確的量也會被他們丟失. 根據這種狀況，在平時應要求學生論證習題時，首先回答五個“是否”，以便思維正常發展.

1. 圖形是否正確

證明幾何題，總強調先畫出盡可能正確的圖形. 正確的圖形能夠在視覺上提供一個客觀的形象，便于提出假設. 比如，正確的圖形常常能提示出三角形全等，線段相等，特殊四邊形是矩形還是菱形，以及軸對稱或中心對稱圖形等信息；或一些否定的信息，如這四邊形不可能是正方形，某兩個角不可能相等也會在正確的圖形中反映出來. 反之，不正確的圖形卻是一個直接的干擾，甚至給結論設置障礙. 當然，圖形的正確性必須包含合理性的要求，如畫平行四邊形就不能畫成矩形或菱形，題意中沒有要求是等腰三角形或直角三角形就不能畫成特殊三角形.

2. 已知、求證是否要化簡轉換

若題意中有冗長的敘述，要力求化成簡單的關系和量. 如求證三條線段相交于一點，可先證其中兩條相交于一點，然后證這點也在第三條線段上.

3. 給出的關系和量是否充分展開

就是對已知、求證的信息一個個加以思考，然后根據有關定義、公理、定理把已知條件性質化，延伸出盡可能多的信息，要避免忽視或遺漏較弱的信息.

4. 是否存在隱藏的條件

審題時還常常需要對提供的信息，結合圖形，按照一般規律經驗發掘題目中的隱藏條件. 添置輔助線就是尋找隱藏條件一種常用的方法.

5. 基本圖形是否存在

有些幾何圖形過于復雜，有些則過于簡單，不能直接看出各信息之間的關系，應認真辨別出基本圖形，找出實質性的關系，簡化思維過程. 例1：已知：∠ACB = 3∠B，∠1 = ∠2，CD⊥AD于D，求證：AB - AC = 2CD.

由已知所提的信息若能想到作輔助線，即延長CD交AB于E，這個基本圖形就能把全等三角形的性質呈現出來，于是就得到AE = AC，ED = CD的新信息. 其中，主要通過輔助線把隱蔽條件顯示出來.

結合以上五點，并經一定的訓練和練習，我認為大部分學生的思維可以得到充分發展，從而增強他們論證的信心.

二、分析綜合，加工信息，接通回路

大多數平面幾何初學者的思維往往雜亂無章，他們無法收集較多的信息，對于一個稍微復雜的過程就會暈頭轉向. 為了解決這一問題，在實際論證教學中，教師不只要教會他們分析和綜合兩種方法，還要讓他們把這兩種方法有機結合起來形成回路，使學生對證明的探求過程有序可循，而不至于停留在盲目的嘗試錯誤階段上.

加工處理信息實際上就是交替運用綜合與分析. 它要求，抓住一系列信息，結合圖形，按照學過的定義、公理、定理及有關經驗，在“分析—綜合”的活動中，經過反復地加工，篩選多余的信息，逐步縮短已知到求證的距離，從而接通證明的回路. 例2：已知：AB = AE，AC = AD，AC⊥AD，AB⊥AE，求證：ED⊥BC. 回路分析圖所示：

分析法：根據本例的“已知”難于發現與結論有關的“可知”，由“未知”難于探求與題設有直接聯系的“需知”，因此可以把兩者通過“綜合—分析”法有機結合起來形成回路，這樣整個證明過程就有序可循了.

三、整理表述、總結經驗、提取精華

聯系回路接通后，還需對加工過程進行歸納、篩選，然后按綜合法整理出完整的邏輯表達式. 這過程要求初學者必須重視訓練.

由于初中學生普遍不太注重論證后的小結，認為表述以后就完事了. 事實上，數學能力較強的學生，他們在表述的同時，就立刻將證明的模式、原則等精華貯存在記憶中. 因此，在學習過程中要求學生做到以下幾個方面.

1. 尋求簡潔、合理、最優的論證

大多數的幾何證明題都有幾種不同的證明方法. 尋求多種渠道，一題多解，特別是比較證題思路，選擇簡潔、合理、最優的論證是發展智力，培養論證思維能力的有效方法.

2. 記憶實用的基本聯系

找出圖中的基本圖形，想想用了哪些性質，這對于識別基本圖形，把握基本圖形的組合，考察知識點間的常見聯系，積累解題經驗是很重要的.

3. 失敗的原因不可忽視

有些學生在證明兩線段相等時，僅認為歸結為證兩個三角形全等或證明等腰三角形，卻忘了還可以通過第三條線段來過渡，因此失敗了，像這些失敗的原因應該懂得歸納，以便今后不再出現類似的錯誤.

4. 老師小結的內容，更要牢牢記住

師在教學過程中，往往都會對所授的內容做個小結，以便學生對本節課內容的掌握有所側重，同時也為以后找出證明的突破口積累經驗.

最后要指出的是，論證思維的一般過程僅僅是學好平面幾何證明的必要條件，而反復多次地、由淺入深地讓學生自己實踐，才是學好證明的關鍵.