對初中數(shù)學(xué)教學(xué)中命題問題的思考

【摘要】 命題是邏輯學(xué)的主要內(nèi)容之一，它是推理的基礎(chǔ). 命題也是初中數(shù)學(xué)教學(xué)中非常重要的內(nèi)容，在《初中數(shù)學(xué)》（人教版）第五章第三節(jié)涉及了命題內(nèi)容，本人通過教學(xué)，對命題問題作了思考.

【關(guān)鍵詞】 邏輯；命題；語句；真假；形式

命題是人類的思維形式，它對事情作出斷定，離不開語句和一定的情境. 命題必有真假，與人類認(rèn)知能力相聯(lián)系. 命題都有一定的邏輯表達(dá)形式.

一、命題是斷定事物的語句

命題就是斷定思維對象屬性的思維形式. “斷定”就是肯定或否定，亦即肯定是斷定，否定也是斷定，通過斷定而形成各種命題. 因而，對思維有所斷定是命題的一個根本特征. 例如：

（1）正數(shù)一定是有理數(shù).

（2）2是無理數(shù).

（3）同角的補角相等.

（4）角平分線不是一條直線.

（5）0是有理數(shù)嗎？

（6）祖國啊，我的母親！

（7）作線段AB = CD.

（8）0難道不是有理數(shù)嗎？

（1）（2）（3）是肯定的斷定，（4）是否定的斷定，因而都是命題.

二、命題與語句的關(guān)系

命題是斷定思維對象屬性的思維形式，簡單地說是斷定事情的語句，那么命題與語句之間又是什么關(guān)系？命題與語句既有聯(lián)系又有區(qū)別.

1. 命題都通過語句來表達(dá)，但并非所有語句都直接表達(dá)命題. 陳述句和反問句都對事情作出斷定，因此它們表達(dá)命題，例如（1）（2）（3）（4）（8）都是命題. 疑問句是用來提出問題的，感嘆句是抒發(fā)某種情感的，祈使句是表達(dá)某種愿望的，它們對客觀事物并未直接斷定，也無真假可言，因此，它們不是命題，即（5）（6）（7）都不是命題.

命題與語句的關(guān)系可用歐拉圖表示，如圖1.

2. 同一命題可用不同的語句來表達(dá). 例如：

① 所有自然數(shù)都是有理數(shù).

② 沒有自然數(shù)不是有理數(shù).

③ 自然數(shù)沒有不是有理數(shù)的.

④ 難道有不是有理數(shù)的自然數(shù)嗎？

這些語句表達(dá)的就是同一個命題.

3. 同一語句可表達(dá)不同命題. 這種情況一般是由多義詞組成的歧義句，例如，兩邊對應(yīng)相等的直角三角形全等. 這里“兩邊對應(yīng)相等”理解為直角邊對直角邊、斜邊對直角邊對應(yīng)相等（圖2），或理解為斜邊對斜邊，直角邊對直角邊對應(yīng)相等（圖3），兩種情況有不同的含義，真假也不同.

三、任何命題都有真假

既然命題是斷定思維對象屬性的思維形式，由于人的認(rèn)知能力不同，人們認(rèn)識活動中，通過斷定而形成的各種命題就存在正確與錯誤之分. 在《初中數(shù)學(xué)》（人教版）教科書中也提出了真假命題的概念，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫假命題. 因而，真假是命題的又一個根本特點. 這樣，（5）（6）（7）這些感嘆、疑問、祈使語句沒有真假，故都不是命題.

《初中數(shù)學(xué)》（人教版）中提出的“真”與“假”的標(biāo)準(zhǔn)是以人類現(xiàn)有的認(rèn)識能力為尺度，在人類現(xiàn)有的能力范圍內(nèi)，斷定是真的就是真命題，斷定是假的就是假命題. 這樣，（3）（4）（8）是真命題，（1）（2）是假命題. 因為在人類現(xiàn)有的認(rèn)知水平下，知道正數(shù)也可以是無理數(shù)，2是自然數(shù)并不是無理數(shù)，所以（1）（2）是假命題. 初中數(shù)學(xué)眾多命題中，如果是經(jīng)過邏輯證明得出的真命題，那么這個命題在以后的解題中能夠直接應(yīng)用，這樣的命題則是我們常說的定理，如果屬于性質(zhì)的叫性質(zhì)定理，如三角形內(nèi)角和為180°，屬于判定的叫判定定理，如一個三角形有兩個角相等，那么這個三角形是等腰三角形. 四、任何簡單命題都能轉(zhuǎn)化成“如果……那么……”的形式

任何簡單命題，例如上面的（3）可以改寫成（9）如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等. 如果前面的是題設(shè)，那么后面的是結(jié)論，這里題設(shè)和結(jié)論都是一個完整的命題，并不是一個詞. 上面的（3）可以改寫成（9），但不能改寫成：（10）如果同角是補角，那么相等，或如果兩個角是同角的補角，那么相等.這些內(nèi)容和邏輯學(xué)中的內(nèi)容是一致的，在邏輯學(xué)中，命題分為簡單命題和復(fù)合命題. 簡單命題是自身不包含其他命題的命題，上面（1）（2）（3）（4）都是簡單命題. 自身包含其他命題的命題叫復(fù)合命題，復(fù)合命題是用關(guān)聯(lián)詞“如果……那么……” 、“只有……才……”、“……或……”、“……并且……”等的形式把簡單命題聯(lián)接起來的命題. 例如：

（9）如果兩個角是同一個角的補角，那么這兩個角相等.

（11）4是自然數(shù)并且4是完全平方數(shù).

很顯然，初中數(shù)學(xué)中命題形式的轉(zhuǎn)化就是邏輯學(xué)中簡單命題和復(fù)合命題的轉(zhuǎn)化. 任何命題都能轉(zhuǎn)化成“如果……那么……”的形式，這種形式實際上屬于復(fù)合命題，因為它本身包含了其他命題，斷定了兩件事情. 這樣，《初中數(shù)學(xué)》（人教版）教材中把命題定義為“判斷一件事情的語句”就顯得不符合邏輯了. 這無疑否定了對兩件或兩件以上事情的斷定，這樣定義是不完善的，存在片面或獨斷，它把復(fù)合命題排除在外了. 如（9）實際上斷定了兩件事情，一是兩個角是同一個角的補角，二是這兩個角相等，盡管后一命題是前一命題推出來的；（11）實際上斷定了兩件事情，一是“4是自然數(shù)”，二是“4是完全平方數(shù)”. 鑒于在中學(xué)階段的教學(xué)要求，我們不妨拋開邏輯的抽象概念，把《初中數(shù)學(xué)》（人教版）中關(guān)于命題定義中的“一件”去掉，這樣既不會片面，又淺顯易懂.

綜上所述，命題來源于我們的生活，是判斷事情的語句，既可以斷定一件事情也可以斷定兩件事情；在認(rèn)識過程中，形成的任何命題都有真假之分；任何簡單命題都能向復(fù)合命題轉(zhuǎn)化.