蘇科版“畫樹狀圖和列表”教學(xué)中的幾個問題

【摘要】 本文主要闡述了蘇科版“畫樹狀圖和列表”教與學(xué)中存在的幾個問題.提出了對此教學(xué)的改進(jìn)意見.

【關(guān)鍵詞】 畫樹狀圖；列表；隨即事件；概率

初中數(shù)學(xué)在講解古典概型時，為了把一個屬于古典概型的隨機(jī)事件的所有等可能的結(jié)果都表示出來，通常要用到畫樹狀圖和列表這兩種方法.這兩種方法貌似簡單易學(xué)、好用，但如果仔細(xì)研究下來，就會發(fā)現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)和教師的教中仍然存在著一些問題，值得我們注意和研究.

一、學(xué)生的學(xué)中出現(xiàn)的問題

（一）畫樹狀圖不完整，只有“樹枝”沒有樹的“年輪”

畫樹狀圖實際上是根據(jù)隨機(jī)事件（本文中所講的隨機(jī)事件都屬于古典概型）發(fā)生的過程（步驟），把每一個過程（步驟）可能發(fā)生的情況羅列起來，最后畫出一個像一棵樹的形狀的圖的過程.值得注意的是，這棵樹也應(yīng)該像一棵真實的樹一樣，不僅要有“樹枝”——每一個過程（步驟）可能發(fā)生的情況，而且要有“年輪”——隨機(jī)事件發(fā)生的過程（步驟）.而學(xué)生在的練習(xí)中卻常常出現(xiàn)只畫“樹枝”不寫“年輪”的情況.舉例來說（請?zhí)^幾行看例題一中的樹狀圖），學(xué)生往往忘記寫樹狀圖左邊的兩行字：第一次摸球、第二次摸球；也就是我們所說的“年輪”. 這樣畫樹狀圖的后果就是在最后作判斷和計算時出現(xiàn)錯誤.

（二）沒有搞清樹狀圖與列表之間的關(guān)系

我們平時畫出的表格通常是二維的，因而如果一個隨機(jī)事件的完成過程超過2個步驟，那么要表示該隨機(jī)事件的所有等可能的結(jié)果，列表就無能為力了，但畫樹狀圖就可以突破這個限制.不過需要說明的是，如果一個隨機(jī)事件的完成過程只有兩步的話，相對于畫樹狀圖，用列表的方式表示所有結(jié)果會更加整齊直觀，值得提倡.

二、教師的教中出現(xiàn)的問題

（一）照本宣科，對畫樹狀圖和列表缺乏拓展和深化，不能很好地幫助學(xué)生對畫樹狀圖和列表進(jìn)行理解

求隨機(jī)事件的概率是在新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)頒布后才在初中數(shù)學(xué)課本上出現(xiàn)的知識，而且中考的要求不高.因此盡管新數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)已經(jīng)頒布多年，但絕大多數(shù)初中數(shù)學(xué)教師關(guān)于求概率的教學(xué)都只停留在照本宣科的水平上.筆者認(rèn)為如果只是從應(yīng)試的角度來講，也許這樣進(jìn)行教學(xué)已經(jīng)夠了；但如果考慮到學(xué)生未來在數(shù)學(xué)上的發(fā)展以及從培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣的角度來說，這樣的教學(xué)顯然是不夠的.

單單只說畫樹狀圖，也許學(xué)生學(xué)了以后認(rèn)識到：用畫樹狀圖的方式可以把所有屬于古典概型的隨機(jī)事件的所有等可能結(jié)果都表示出來.應(yīng)該承認(rèn)從理論上講這種認(rèn)識沒有問題，但是如果隨機(jī)事件的實踐步驟和參與元素比較多，學(xué)生就會發(fā)現(xiàn)畫樹狀圖的方法操作起來是很麻煩的.我們要使學(xué)生明白畫樹狀圖的這一局限性，也要使學(xué)生明白這并不是絕對的.

例題一：在一個不透明的袋子中裝有10個除顏色外完全相同的小球，其中白球5個，黃球3個，紅球2個.摸出一個球不放回，再摸出一個球，兩次都摸到黃球的概率是多少？

這類題目在各類教輔用書中是十分常見的. 它的特點(diǎn)就是參與的元素較多. 如果按照蘇科版課本要求，5個白球要寫成白1、白2、白3、白4、白5；3個黃球要寫成黃1、黃2、黃3；2個紅球要寫成紅1、紅2（詳見蘇科版數(shù)學(xué)八下156頁練習(xí)2、162頁例4、163頁練習(xí)3、數(shù)學(xué)補(bǔ)充習(xí)題（八年級下冊）97頁第4題），用畫樹狀圖的方法把所有的結(jié)果都列出來，你就會發(fā)現(xiàn)起碼要一頁紙才能把它們列好.那么你也許要問：是否有一種更為簡便的表示法呢？回答是對于這樣一類題目而言，是可以用畫樹狀圖表示所有等可能結(jié)果的，而且簡潔明了！但（蘇科版）課本上卻未對以下的表示法加以說明.

樹狀圖：

第一次摸球

第一次摸球

上面畫的樹狀圖，相當(dāng)于按課本要求做了兩個小小的改進(jìn)：（1）按照小球的顏色做了一個合并；（2）按照實驗的步驟分別求出所有等可能結(jié)果，最終按照乘法原理和加法原理求出我們所關(guān)注的事件的概率.因此我認(rèn)為如果在此把畫樹狀圖加以適當(dāng)?shù)耐卣沟脑?，可以很好地幫助學(xué)生更好地理解樹狀圖和表格在求概率中的作用以及它的局限性.

（二）沒有理清畫樹狀圖與排列、組合的關(guān)系，沒有做好與初高中知識的銜接

有這樣一個經(jīng)常出現(xiàn)在各種蘇科版八下數(shù)學(xué)教輔用書或試卷上的題目：

例題二：有五條線段，長度分別是1 cm，2 cm，3 cm，4 cm，5 cm，從中任取三條，能構(gòu)成三角形的概率是多少？

在講解這個題目時，教師往往是這樣講的：從5條線段中取出3條，相當(dāng)于從5條線段中取出2條線段，那么一共有10種情況，從而反推得到從5條線段中取3條線段一共有10種情況：3，4，5；2，4，5；2，3，5；2，3，4；1，4，5；1，3，5；1，3，

4；1，2，5；1，2，4；1，2，3.其中3，4，5；2，4，5；2，3，4這3種情況符合要求，所以所求的概率是0.3.

應(yīng)該說，這種教法并沒有用到我們這章所學(xué)畫樹狀圖或列表的方法，學(xué)生也許會感到茫然.那么我們能否用畫樹狀圖或列表的方法來做這個題呢？答案是肯定的，只不過畫樹狀圖或列表的方法較為繁瑣，而且它所得到的所有結(jié)果不止10個. 如果按照“從5條線段中取出3條，相當(dāng)于從5條線段中取出2條線段”來理解，畫出樹狀圖或列表的話會有20個可能的結(jié)果，如果直接畫樹狀圖會有60個結(jié)果.

為什么會出現(xiàn)這種情況呢？實際上這牽涉到了畫樹狀圖與排列組合的關(guān)系！我們知道：畫樹狀圖時是按“順序”畫的，所以它得到的結(jié)果數(shù)和排列數(shù)是一致的（組合數(shù)是結(jié)果數(shù)除以次序數(shù)的階乘）.而我們做的那個題目的結(jié)果與次序無關(guān)，所以其實是一種組合.而按照那兩種不同的理解得到的是排列數(shù)，它是有序的，但其實組合數(shù)都為10 （60 ÷ 3！或20 ÷ 2?。? 上述做法實際上用到了高中知識，所以學(xué)生很難理解. 如果用畫樹狀圖或列表的方法解決，學(xué)生會好理解得多.

（三）沒有認(rèn)識到畫樹狀圖或列表的局限性以及它們的真正作用，涉及求概率的題目時隨意性大

從上面所述的內(nèi)容不難發(fā)現(xiàn)，畫樹狀圖或列表有很大的局限性：所參與的元素個數(shù)、實踐的步驟不能太多，否則畫樹狀圖或列表就很困難.因此初中數(shù)學(xué)求隨機(jī)事件的概率，大都是屬于簡單的古典概型.簡單的程度類似于在不透明的袋子中不會超過5個小球、實驗的步驟不會超過3步.這樣出題的目的主要是為了體現(xiàn)樹狀圖與表格的作用.因此在涉及求概率的題目時一定要慎重，不要自找麻煩.