談“平方差公式”的探索過程

“平方差公式”是初中階段所學的重要乘法公式之一，與“完全平方公式”一樣，平方差公式是在學習了有理數運算、簡單的代數式運算、整式的加減及整式乘法以及多項式的乘法等知識的基礎上，過渡到具有特殊形式的多項式的乘法. 學習“平方差公式”可以讓學生們更深入地體會到從一般到特殊的認知規律，并增強觀察、發現和概括的能力. “平方差公式”不僅是對多項式乘法的鞏固和進一步探究，也是為學習后面的因式分解作鋪墊. 在分式的化簡、二次根式中的分母有理化和解一元二次方程等方面，“平方差公式”也會經常被用到. 因此，“平方差公式”在初中階段的教學中也具有很重要的地位，公式的探究過程就是培養學生們數學能力的過程，并進一步發展學生的觀察能力、抽象理解能力、推理能力和歸納能力. 在學習這部分內容時，不但要掌握平方差公式的結構特征并靈活運用公式，還要會用幾何圖形說明公式的意義，體會數形結合的思想方法. 公式的探究過程如下：

一、計算并觀察

活動1：計算下列多項式的積，并說說你發現了什么規律？

（1）（a + 1）（a - 1） = ；

（2）（x + 2）（x - 2） = ；

（3）（2a + b）（2a - b） = ；

（4）（2m + 1）（2m - 1） = .

【設計意圖】 通過這幾道特殊的多項式的乘法計算，讓學生們發現多項式的特征并比較多項式與相乘后所得積之間的聯系. 這一步不但復習了多項式的乘法計算，還為學習平方差公式進行了熱身.

二、觀察并猜想

活動2：根據活動1中的四道題回答下面的問題.

① 仔細觀察，式子的左邊都具有什么特征？

② 它們的結果有什么特征？

③ 能用字母來表示你發現的規律嗎？

教師通過提問的方式引導學生們進行觀察和猜想. 學生們通過自主探究以及合作交流等方式對這個規律進行猜想：等式左邊是兩個數的和與這兩個數的差的積，式子的右邊是這兩個數的平方差，并猜想出：（a + b）（a - b） = a2 - b2.

【設計意圖】 通過引導和提示，鼓勵學生們仔細觀察和猜想，探索具有特殊形式的多項式乘法──平方差公式，這樣更加自然、合理.

三、實踐及驗證

活動3：實踐探究，有一個長為（a + b）、寬為（a - b）的長方形，剪下長為（a - b）寬為b的長方形條，拼成一個有空缺的正方形，并請用等式表示你剪拼前后的圖形的面積關系（a > b > 0）.

【設計意圖】 通過小組合作的方式，讓學生們進行實踐和探索，利用圖形面積相等的關系來驗證平方差公式的正確性. 還可以讓學生們體會到數形結合的數學思想.

四、總結和歸納

活動4：你能分別用文字語言和數學符號來表示所發現的規律嗎？

兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差.

（a + b）（a - b）=a2 - b2

【設計意圖】 鼓勵學生用自己的語言表述，發展學生的組織語言及表達的能力. 并且把語言表達轉化為數學符號的形式，實現了用數學符號來表達數學公式.

五、本質的探究

活動5：你能準確表達出平方差公式（a + b）（a - b） = a2 - b2的結構特征嗎？

① 左邊是兩個二項式相乘，其中“a與a”是相同項，“b與-b”是相反項；右邊是二項式，相同項與相反項的平方差，即a2 - b2；

② 在這個公式中，a和b不只可以代表一個數字，還可能代表一個式子.

【設計意圖】 通過仔細觀察公式，并總結出公式的特征和本質，正確理解公式中所含字母表示的意義. 抓住概念的核心才能靈活使用公式.

六、鞏固和內化

活動6：1. 判斷下列算式能否運用平方差公式計算：

（1）（2x + 3a）（2x - 3b）；（2）（t2 + 1）（t2 - 1）；

（3）（-m + n）（m - n）；（4）（-2a - 3b）（2a - 3b）；

【設計意圖】 學生經過思考、交流與討論，并結合平方差公式的本質特征進行判斷. 進一步理解和鞏固公式，特別是理解a與b表示的含義. 進一步增強數學公式的運用能力.

2. 小明家有一塊“L”形的菜地，現在要分成兩塊形狀、面積相同的部分，種上兩種不同的蔬菜，請你想辦法幫小明設計，并算出這塊自留地的面積.

【設計意圖】 讓學生們感受到數學在實際生活中的運用，體會平方差公式的幾何意義. 同時鞏固和加深了對平方差公式的理解，并學會靈活使用公式.

總結

在平方差公式的學習和探究過程中，學生們的主體性得到了發揮，觀察及驗證推理的能力得到了提高，并對數學知識的學與用以及數形結合的數學思想有了更深刻地理解和感悟. 學生們通過自主學習與交流合作的學習方式感受到了知識探索過程的樂趣，激發了對數學的興趣.

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