淺談聯(lián)想對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)

G·波利亞曾這樣精辟地說過：“解題的成功要靠正確思路的選擇. ”而正確思路離不開聯(lián)想. 聯(lián)想是以觀察為基礎(chǔ)，對研究的對象或問題的特點，聯(lián)系已有的知識經(jīng)驗進(jìn)行想象的思維方法. 在數(shù)學(xué)中，常常聯(lián)想有關(guān)定義和定理，或解題思想和方法，或相近學(xué)科的知識，或已經(jīng)解決的熟悉的問題，從而使問題獲得解決. 本文擬通過一些具體問題，就聯(lián)想對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)的重要性作一些探討.

一、接近性聯(lián)想

接近性聯(lián)想是指對當(dāng)前的問題，形成表征或產(chǎn)生自覺以后，對過去的在性質(zhì)方面很接近的問題的回憶. 例如，算術(shù)平方根與絕對值，二次函數(shù)的圖像、一元二次不等式解集與一元二次方程，曲線與方程等都具有聯(lián)系.

例1 實數(shù)m取何值時，關(guān)于x的方程x2 - 2mx + m + 1 = 0的一個根大于5，而另一根小于5？

聯(lián)想2 聯(lián)想到二次方程與二次函數(shù)的圖像關(guān)系：設(shè)f（x） = x2 - 2mx + m + 1，由x1 < 5，x2 >5 ？圳 f（5） < 0，求m的范圍.

分析 學(xué)生一拿到題目直接對方程兩邊平方、移項、整理后得關(guān)于x的一元二次方程有相異的實數(shù)解，即滿足Δ > 0，沒有考慮對方程兩邊平方，x的范圍已經(jīng)擴(kuò)大，相應(yīng)的k的范圍也擴(kuò)大了.

通過對方程與函數(shù)，方程與曲線之間的聯(lián)想，不僅對于知識起到了融會貫通的作用，而且對于問題的轉(zhuǎn)化特別是數(shù)與形的轉(zhuǎn)化鍛煉了學(xué)生思維的創(chuàng)造性和深刻性.

二、相似性聯(lián)想

相似性聯(lián)想是對當(dāng)前的問題進(jìn)行表征后產(chǎn)生相似直覺而回憶起另一具有結(jié)構(gòu)相似或圖形相似或方法相似的問題的聯(lián)想. 例如勾股定理、兩點間距離公式、復(fù)數(shù)的模的結(jié)構(gòu)相似，多元問題轉(zhuǎn)化為二元或一元問題處理，空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解的降維思想方法等都是相似性聯(lián)想的一些重要表現(xiàn).

聯(lián)想1 不等式看成兩點間的距離之和，即意味著動點P（x，y）與定點A（4，3）和B（1，-1）的距離之和，則由三角不等式可以進(jìn)行證明.

通過例3說明聯(lián)想角度與方式不同，可以得出問題的多種不同的解法，所以聯(lián)想是進(jìn)行一題多解式發(fā)散性思維培養(yǎng)的重要題材.

三、對比性聯(lián)想

對比性聯(lián)想是由當(dāng)前問題引起的對具有相反關(guān)系或?qū)Ρ嚷?lián)系的另一問題的回憶. 例如，相等與不等，直線與曲線，有限與無限，進(jìn)與退等都是可以賦予具體教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行對比性聯(lián)想.

例4 解方程（x2 + 1）（y2 + 4） = 8xy.

分析 若直接利用解方程的思想去考慮便覺得無從下手，聯(lián)想到（x2 + 1）（y2 + 4） = 8xy，問題轉(zhuǎn)化為不等式中的等式問題.

例5 已知0 < a，b，c，d，e < 1求證：（1 - a）（1 - b）（1 - c）（1 - d）（1 - e） > 1 - a - b - c - d - e.

分析 根據(jù)問題的特征，我們聯(lián)想到與特征不等式相似的簡單不等式（1 - a）（1 - b） > 1 - a - b，證明了它以后，再以它為基礎(chǔ)前進(jìn)到特征不等式進(jìn)行解決.

例4說明了多元證題聯(lián)想到二元證題的方法，反過來二元的問題解決推廣、到多元，培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力.

綜上所述，通過聯(lián)想不僅能起到溝通不同知識的聯(lián)系，起到強化和鞏固知識的作用，而且能提供行之有效的解題思路，所以聯(lián)想能力的培養(yǎng)在數(shù)學(xué)教學(xué)中必須強化，使學(xué)生思維達(dá)到更高一層發(fā)展.