淺析初中幾何教學(xué)“梯形”中常用的輔助線的作法

【摘要】 梯形是初中平面幾何中一種常見的圖形，在講解梯形的有關(guān)證明和計(jì)算時(shí)，通常是把梯形問題化規(guī)為平行四邊形和三角形的問題來解決，但題目中添加的輔助線并不是一成不變的、單一的，它是根據(jù)題目中的條件和結(jié)論巧妙地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行解答，本文主要針對(duì)常見的幾種題型，對(duì)初中幾何教學(xué)“梯形”中常作的輔助線進(jìn)行總結(jié).

【關(guān)鍵詞】 初中幾何；幾何教學(xué)；梯形問題；輔助線

梯形是一種特殊的圖形，是平行四邊形和三角形知識(shí)的綜合. 在解決梯形的問題時(shí)，由于很難直接找到條件和結(jié)論間的關(guān)系，故在解題的過程中，需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，把梯形分割成三角形和平行四邊形，再運(yùn)用三角形和平行四邊形的有關(guān)知識(shí)對(duì)問題進(jìn)行解答. 在實(shí)際的練習(xí)中，有關(guān)梯形知識(shí)的問題也是千變?nèi)f化，不同條件的梯形轉(zhuǎn)換方式也不盡相同，因此在題目中所做的輔助線也有所差異. 在梯形的證明題和計(jì)算題中常用的輔助線有：

一、平移腰

由于梯形有兩腰，根據(jù)題目條件平移其中一腰或兩腰，即過梯形上底或下底的一個(gè)端點(diǎn)或一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線，可將梯形轉(zhuǎn)化為一個(gè)平行四邊形和三角形.

例1 如圖，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 60°，AD = 3，BC = 9，求梯形的周長(zhǎng).

解析 有一個(gè)底角為60°的等腰梯形，如果平移一腰，可得平行四邊形和等邊三角形. 過點(diǎn)D作DE∥AB交BC于點(diǎn)E，則四邊形ABED是平行四邊形，由等腰梯形可得∠B = ∠C = 60°，三角形DEC為等邊三角形，則腰長(zhǎng)為兩底之差，故AB = CD = 6，所以梯形的周長(zhǎng) = AD + BC + AB + CD = 3 + 9 + 6 + 6 = 24.

例2 如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，兩腰BA，CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，且∠E =90°，M，N分別為AD、BC的中點(diǎn)，則MN與兩底之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

解析 此題涉及的是梯形上、下底中點(diǎn)的問題. 如果我們把兩腰AB，CD平行移動(dòng)到MF，MG的位置，即過點(diǎn)M作MF∥AB交BC于點(diǎn)F，MG∥CD交BC于點(diǎn)G，則構(gòu)成了兩個(gè)平行四邊形ABFM和DCGM，則有AM = BF，DM = CG，使FG成為兩底之差，N為FG的中點(diǎn).

二、構(gòu)造中位線

已知梯形一腰或兩腰的中點(diǎn)，可連接兩腰中點(diǎn)或過一腰的中點(diǎn)做一條底邊的平行線構(gòu)成梯形的中位線.

例3 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB = AD + BC，M為CD中點(diǎn)，求證：MA⊥MB.

解析 作中位線MN，則有AD∥MN∥BC，2MN = AD + BC = AB，所以有AN = MN = BN，可得直角三角形AMN，結(jié)論可證.

對(duì)于出現(xiàn)一腰中點(diǎn)的題型，除了作中位線以外，還可以連接中點(diǎn)與上底另一端點(diǎn)并延長(zhǎng)與下底相交，比如此題我們還可以延長(zhǎng)AM交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，通過證明△AMD ≌ △NMC，將AD轉(zhuǎn)化到CN的位置，構(gòu)造出等腰三角形ABN，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得結(jié)論.

三、平移對(duì)角線

過梯形的一個(gè)頂點(diǎn)作對(duì)角線的平行線，轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，將對(duì)角線的有關(guān)條件轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中.

例4 在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC = 45°，高DE = 10 cm. 求上、下底的和與面積.

解析 過點(diǎn)A作AG∥DB，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，則∠G = ∠DBC = 45°.

∵ AD∥BC，∴四邊形AGBD是平行四邊形.

∴ AG = DB = AC，AD = GB，

∵ AB = DC，∴△ABG ≌ △CDA（SSS），

∴ ∠AGC = ∠CAD = 45°，∵ AD∥BC，∴∠ACG = ∠CAD = 45°， 即∠GAC = 90°，△GAC為等腰直角三角形.

四、其他方法

由于文章的篇幅有限，在初中數(shù)學(xué)幾何解題中，關(guān)于梯形問題的輔助線的作法還有很多，如作梯形的高：過梯形同一底邊的兩個(gè)端點(diǎn)作梯形的兩條高，把梯形分割為兩個(gè)直角三角形和一個(gè)矩形；連對(duì)角線：連對(duì)角線將梯形轉(zhuǎn)化為三角形；延長(zhǎng)兩腰：延長(zhǎng)兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形；旋轉(zhuǎn)上底： 旋轉(zhuǎn)由梯形一底和一腰中點(diǎn)構(gòu)成的三角形等方法都可以作為梯形問題的解題方法，具體的要根據(jù)文章的條件和結(jié)論確定.

綜上所述，在梯形的證明和計(jì)算中，作的輔助線并不一定是單一的，有時(shí)可同時(shí)作兩種或兩種以上，目的是一致的，把梯形問題轉(zhuǎn)化為平行四邊形和三角形的有關(guān)知識(shí)來解決. 無論是采用哪種方法，都希望同學(xué)們能熟練掌握，運(yùn)用自如，以便在考試中取得好的成績(jī).