讓學生在數學知識的海洋里遨游

一、挖掘錯誤資源，讓數學的海洋變得更加清澈

課堂，是允許孩子犯錯的地方. 在解題過程中，學生都會因為主觀或客觀的原因，出現一些這樣那樣的不可預知的錯誤. 對于學生在解題中出現的一些意外情況，作為教師的我們不可一味地訓斥，自亂方寸. 而應懷著一顆寬容之心，引導學生積極思考：為什么出錯？錯誤的原因是什么？

解 ∵ Δ = 32 - 4 × 1 × 1 = 5 > 0，

∴ α ≠ β .

由一元二次方程的根與系數的關系，得

二、探究數學規律，讓數學的海洋變得更加廣袤

“例題千萬道，解后拋九霄”，這樣學生難以達到提高解題能力、發展思維的目的. 善于作解題后的反思、方法的歸類、規律的小結和技巧的揣摩，再進一步作一題多變，一題多問，一題多解，挖掘例題的深度和廣度，擴大例題的輻射面，無疑對能力的提高和思維的發展是大有裨益的.

例2 （原例題）已知等腰三角形的腰長是4，底長為6. 求周長. 我們可以將此例題進行一題多變.

變式1 已知等腰三角形一腰長為4，周長為14，求底邊長（這是考查逆向思維能力）.

變式2 已知等腰三角形一邊長為4，另一邊長為6，求周長（與前兩題相比，需要改變思維策略，進行分類討論）.

變式3 已知等腰三角形的一邊長為3，另一邊長為6，求周長（顯然“3只能為底”，否則與三角形兩邊之和大于第三邊相矛盾，這有利于培養學生思維的嚴密性）.

變式4 已知等腰三角形的腰長為x，求底邊長y的取值范圍.

變式5 已知等腰三角形的腰長為x，底邊長為y，周長是14. 請先寫出二者的函數關系式，再在平面直角坐標內畫出二者的圖像（與前面相比，要求又提高了，特別是對條件0 < y < 2x的理解運用，是完成此問的關鍵）.

通過例題的層層變式，學生對三邊關系定理的認識又深了一步，有利于培養學生從特殊到一般，從具體到抽象地分析問題、解決問題；通過例題解法多變的教學則有利于幫助學生形成思維定勢，并且打破思維定勢；有利于培養思維的變通性和靈活性.

三、關注題目發展，讓數學的海洋變得更加深邃

思維的靈活性就是在解題過程中對題目進行反復思考后做出靈活的處理. 所以它要求學生用變化、發展的眼光去認識、解決問題，“因地制宜”、“量體裁衣”的思維靈活性的表現.

例3 如圖1，AD是△ABC的高，點P，Q在BC上，點R在AC邊上，點S在AB邊上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四邊形PQRS是正方形. （1）△ASR與△ABC相似嗎？（2）求正方形PQRS的邊長.

解 （1）∵ PQRS是正方形，

∴ SR∥BC，

∴ ∠ASR = ∠ABC，∠ARS = ∠ACB，

∴ △ASR∽△ABC.

（2） ∵ △ASR∽△ABC，AD⊥BC，

設正方形PQRS的邊長為x cm，則AE = （40 - x）cm.

所以正方形PQRS的邊長為24 cm.

反思 此題學生一般都能解答，其中作為本例題（2）中所運用的結論——相似三角形對應高的比等于相似比，是學生應牢固掌握的. 老師在此應重點點評并予以引伸拓展，它對于培養學生的數學素質和數學能力起著重要的作用.

拓展一 已知正方形SPQR內接于△ABC，且△ASR，△BSP，△CQR的面積分別是S1 = 1，S2 = 3和S3 = 1（如圖2），那么正方形SPQR的邊長是多少？

拓展二 在銳角三角形ABC中，有一內接正方形MNQR（如圖3），求證：S正方形MNQR ≤ S△ABC

拓展三 如圖4，將正方形MPNC內接于Rt△ABC中，則△APM和△PBN的面積之和不小于正方形MPNC的面積，證明你的結論.

總之，在數學教學中如何發展學生的數學思維，提高學生的學習能力，是擺在每一個數學教師面前的一個重要課題. 所以在教學中，我們教師要著重培養學生的數學思維能力，讓學生真正成為數學學習的主人，在數學知識的海洋里快樂遨游.