有理數(shù)特色題賞析

一、進(jìn)制轉(zhuǎn)換題

例1 日常生活中我們使用的數(shù)是十進(jìn)制數(shù)，而計算機(jī)使用的數(shù)是二進(jìn)制數(shù)，即數(shù)的進(jìn)位方法是“逢二進(jìn)一”. 二進(jìn)制數(shù)只使用數(shù)字0，1，如二進(jìn)制數(shù)1101記為1101（2）. 1101（2）通過式子1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20可以轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)13，仿照上面的轉(zhuǎn)換方法，將二進(jìn)制數(shù)11101（2）轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)是 .

解析 根據(jù)二進(jìn)制數(shù)的定義可知：

11101（2） = 1 × 24 + 1 × 23 + 1 × 22 + 0 × 21 + 1 × 20 = 29，填29.

點評 解答此題的關(guān)鍵是歸納總結(jié)出二進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制的規(guī)律. 同學(xué)們，通過此題提供的信息，你能夠把十進(jìn)制的數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制的數(shù)了嗎？

二、黑洞數(shù)題

例2 “黑洞”原指非常奇怪的天體，它體積小，密度大，吸引力強(qiáng)，任何物體到了它那里都別想再“爬”出來，無獨有偶，數(shù)字中也有類似的“黑洞”，滿足某種條件的所有數(shù)，通過一種運(yùn)算，都能被它吸進(jìn)去，無一能逃脫它的魔掌. 例如，任寫出一個三位數(shù)，它的各個數(shù)位上的數(shù)字都不相等，用這個三位數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)字組成一個最大數(shù)和一個最小數(shù)，并用最大數(shù)減去最小數(shù)，得到一個新的三位數(shù)，對于新得到的三位數(shù)，重復(fù)上面的過程，又得到一個新的三位數(shù)，一直重復(fù)下去，就能得到一個固定的數(shù) ，我們稱它為三位數(shù)的黑洞數(shù)，用同樣的方法，你可以得到四位數(shù)的黑洞數(shù)為 .

解析 此題只需按照題意進(jìn)行操作即可得出結(jié)果. 如任取三位數(shù)561，按題意操作：651 - 156 = 495；954 - 459 = 495.再如739：973 - 379 = 594；954 - 459 = 495. 因此三位數(shù)的黑洞數(shù)為495，同樣可求四位數(shù)的黑洞數(shù)為6174.

點評 解答此類題的關(guān)鍵是按照題意進(jìn)行操作，可多取幾個數(shù)進(jìn)行驗證.

三、斐波那契數(shù)列題

例3 某種樹木的分枝生長規(guī)律如圖1所示，則預(yù)計到第8年時，樹木的分枝數(shù)為 .

解析 從表中可以發(fā)現(xiàn)：從第三年起，每年的分枝數(shù)都等于前面兩年的分枝數(shù)之和，即樹木的分枝數(shù)符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律. 因此，第6年時，樹木的分枝數(shù)為第4年的分枝數(shù)加上第5年樹木的分枝數(shù)，為3 + 5 = 8，第7年為8 + 5 = 13，第8年為13 + 8 = 21，所以填21.

點評 斐波那契數(shù)列的規(guī)律是：從第三個數(shù)起，每個數(shù)都等于前兩個數(shù)的和. 這個規(guī)律是解答相關(guān)問題的關(guān)鍵.

四、數(shù)形結(jié)合題

例4 閱讀下面材料：點A，B在數(shù)軸上分別表示實數(shù)a，b，A，B兩點之間的距離表示為| AB | . 當(dāng)兩點中有一點在原點時，不妨設(shè)點A在原點（如圖2），| AB | = | OB | = | b | = | a - b|；當(dāng)A，B兩點都不在原點時，點A，B都在原點的右邊（如圖3），| AB | = | OB | - | OA | = | b | - |a | = b - a = |a - b|； 點A，B都在原點的左邊（如圖4），| AB | = | OB | - | OA | = | b | - | a | = -b - （-a） = | a - b |；點A，B在原點的兩邊，如圖5， | AB | = | OA | + | OB | = |a | + | b | = a + （-b） = | a - b| .

總之，數(shù)軸上A，B兩點之間的距離 | AB | = | a - b | .

回答下列問題：

（1） 數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是 ，數(shù)軸上表示 -2和 -5的兩點之間的距離是 ，數(shù)軸上表示1和 -3的兩點之間的距離是 .

（2） 數(shù)軸上表示x和 -1的兩點A和B之間的距離是 ，如果 | AB | = 2，那么x為 .

（3） 當(dāng)代數(shù)式 | x + 1 | + | x - 2 | 取最小值時，相應(yīng)的取值范圍是 .

解析 此題先由特殊到一般地歸納概括出公式：數(shù)軸上A，B兩點之間的距離 | AB | = | a - b |，再根據(jù)這個公式解答問題.

（1） | 2 - 5 | = 3； | -2 - （-5） | = 3； | 1 - （-3） | = 4，所以分別填3，3，4.

（2） | AB | = | x -（-1） | = | x + 1 | ； | AB | = 2，| x + 1 | = 2，x + 1 = ±2，∴ x = 1或-3. 所以依次分別填 | x + 1| 1或-3.

（3） | x + 1 | + | x - 2 | 表示數(shù)軸上表示x的點分別與表示 -1，2的兩點間的距離和，顯然，當(dāng)x在 -1，2（包括 -1，2）之間時，距離和最小，所以取值范圍是 -1 ≤ x ≤ 2.

點評 此題通過數(shù)與形的結(jié)合歸納出兩點之間的距離公式，并通過數(shù)形結(jié)合解決問題.