幾種常用的輔助線證全等

證明三角形的全等可以通過三角形全等的判定定理來進(jìn)行證明，還有部分是要通過添加輔助線來進(jìn)行證明的.由于學(xué)生七年級剛學(xué)習(xí)幾何證明，所以添加輔助線證明全等對學(xué)生來說是有些難度的. 下面介紹五種證明三角形全等常見的輔助線作法，幫助同學(xué)們進(jìn)行總結(jié)，供學(xué)習(xí)時(shí)參考.

一、截等長線段

一般情況下，這種方法適用于求兩條或兩條以上的線段的和，或者是證明某條線段的長度等于其他若干條線段的長度之和，而這些線段又不在同一條直線上，那么就要想辦法把這些線段進(jìn)行等量轉(zhuǎn)換，移到同一條直線上進(jìn)行比較. 而這里等量轉(zhuǎn)換的方法通常就是用正三角形全等，或者可以考慮用截長補(bǔ)短的辦法，在長線段上截取一部分使之與短線段相等；或?qū)⒍叹€段延長使其與長線段相等.

例1 如圖1，在△ABC中，∠ABC = 60°，AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB.求證：AC = AE + CD.

證明 在AC上截取AF = AE，

連接OF.

∵ AD，CE分別平分∠BAC，∠ACB，∠ABC = 60°.

∴ ∠1 + ∠2 = 60°，∴ ∠4 = ∠6 = ∠1 + ∠2 = 60°.

△AEO ≌ △AFO.

∴ ∠5 = ∠4 = 60°，∴∠7 = 180° - （∠4 + ∠5） = 60°.

在△DOC與△FOC中，∠6 = ∠7 = 60°，∠2 = ∠3，OC = OC.

∴ △DOC ≌ △FOC，CF = CD，∴ AC = AF + CF = AE + CD.

二、中線倍長

當(dāng)三角形問題中出現(xiàn)了有關(guān)中線或者中點(diǎn)這一類信息時(shí)，延長三角形的中線至原中線的二倍，就可以輕松地構(gòu)造出全等三角形. 這也是證明三角形全等的常用的一種解題思路.

例2 已知三角形的兩邊長分別為7和5，那么第三邊上中線長x的取值范圍是（ ）.

解 如圖2所示，設(shè)AB = 7，AC = 5，BC上中線AD = x.

延長AD至E，使DE = AD = x.

又 ∵ BD = CD，∠ADC = ∠EDB，

∴ △ADC ≌ △EDB（SAS），

∴ BE = AC = 5，即7 - 5 < 2x < 7 + 5，

∴ 1 < x < 6.

三、添加平行線

當(dāng)圖形中有相等的角或等腰三角形時(shí)，可通過作平行線將角進(jìn)行轉(zhuǎn)換得到另外的等腰三角形或相等的角，為證明全等提供必要的條件.

例3 如圖3，在等腰△ABC中，AB = AC，在AB上截取BD，在AC延長線上截取CE，且使CE = BD. 連接DE交BC于F. 求證：DF = EF.

證明 作DH∥AE交BC于H.

∴ ∠DHB = ∠ACB，

∵ AB = AC，∴∠B = ∠ACB，∠DHB = ∠B，∴ DH = BD，

∵ CE = BD ∴ DH = CE，

又 ∵ DH∥AE，∠HDF = ∠E，∠DFH = ∠EFC，

∴△ DFH ≌ △EFC（AAS），∴ DF = EF.

四、補(bǔ)全圖形

有些三角形問題當(dāng)中，延長兩條線段相交于某點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)新的圖形，那么就可以找到更多的等量關(guān)系，更有助于問題的解決.

例4 如圖4，在△ABC中，AC = BC，∠BCA = 90°，BD為∠ABC的平分線.若A點(diǎn)到直線BD的距離AD為a，求BE的長.

證明 延長AD，BC相交于F.

由BD為∠ABC的平分線，BD⊥AF.

易證△ADB ≌ △FDB.

∴ AF = 2a，∠F = ∠BAD.

又 ∵ ∠BAD + ∠ABD = 90°，∠F + ∠FAC = 90°，

∴ ∠ABD = ∠FAC.

∵ BD為∠ABC的平分線，

∴ ∠ABD = ∠CBE，

∴ ∠FAC = ∠CBE，而∠ECB = ∠ACF = 90°，AC = BC，

∴ △ACF ≌ △BCE（ASA），∴ BE = AF = 2a.

五、利用角的平分線對稱構(gòu)造全等

角平分線是證明三角形全等的一個(gè)有利條件，一條角平分線至少會(huì)有一組等角和一組公共邊，在角平分線的基礎(chǔ)上構(gòu)造出全等三角形是一種常用的解題方法.

例5 如圖5，在四邊形ABCD中，已知BD平分∠ABC，∠A + ∠C = 180°.證明：AD = CD.

證明 在BC上截取BE = BA，

連接DE.

∵ BD平分∠ABC，易證△ABD ≌ △EBD，

∴ AD = DE，∠A = ∠BED.

又 ∵∠A + ∠C = 180°，∠BED + ∠DEC = 180°

∴∠DEC = ∠C，∴ DE = CD，∴ AD = CD.

【參考文獻(xiàn)】

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