“再創造原理”在梯形教學中的應用

【摘要】 將“再創造原理”應用于梯形教學設計的三個環節：“數學現實”——從學生的原認知結構中提出問題；“似真推理” ——讓學生在探究中發現；思想方法——讓學生在解題中體驗概括.

【關鍵詞】 “再創造原理”；梯形； 教學設計

“再創造”相對于 “原始創造”而言，它不是機械地去重復歷史，而是指每個人在學習數學的過程中，根據自己的體驗，用自己的思維方式，重新創造有關的數學知識，也就是說，由學生本人把要學的東西自己去發現或創造出來. 弗賴登塔爾認為：數學教學方法的核心是學生的“再創造”，并且 “再創造”的過程必須是由學習者自己主動去完成的，而不是任何外界所強加的，在數學教學中，應當特別注意學生要用自己獲取數學的體系來建構他們的數學知識.這對培養學生的創新意識和創造能力有著十分重要的意義. 本文將“再創造原理”應用于梯形（第一課時）的教學設計，供同行參考.

一、“數學現實”——從學生的原認知結構中提出問題

每名學生都有自己的生活、學習和思考著的特定的客觀世界，都掌握一些反映這個客觀世界的各種數學概念，以及運算方法、規律和有關的數學知識結構.這就是說，每名學生都有自己的一套“數學現實”.“再創造”教學只有根據學生實際擁有的“數學現實”，采取相應的方法予以豐富，予以擴展，才能收到實效. “數學現實”要求教師從學生的“數學現實”出發，努力探索一種適合學生自主發展的教學模式，通過“再創造”教學，培養學生的創新精神.

本節課開始，教師從學生的原認知結構中提出問題，即

問題1：平行四邊形的定義是什么？它具有哪些性質？平行四邊形性質的探究是圍繞哪些方面展開的？

問題2：（教師運用多媒體將平行四邊形的頂點D在射線AD上移動如圖1），當點D在射線AD（不包括A點）上運動時，能得到哪些圖形？

你能畫出這些圖形嗎？這些圖形有什么關系？

在學生動手動腦的基礎上，師生共同復習了梯形與平行四邊形的概念，再利用分類思想建立四邊形、平行四邊形、梯形、直角梯形、等腰梯形的知識結構（知識結構圖略）.接著向學生介紹等腰梯形具有對稱、美觀等特點，例如，有些提包的形狀也設計成等腰梯形， 受到人們的青睞，讓學生感受等腰梯形具有的軸對稱性及在日常生活中的運用.

問題1的設計，強調從結構特征、討論問題的思想方法等角度，對已有知識進行復習回顧，為學生從邊、角、對角線、對稱軸等方向去猜想等腰梯形的性質提供借鑒.

問題2的設計，旨在提出問題的方法，研究思路的引導.讓學生在圖形運動變化中感知梯形與平行四邊形之間的聯系和區別.

從學生的“數學現實”出發提出問題，正視學生的認知結構，了解學生的“創造”能力，引發了學生的認知沖突，增強學生“再創造”的濃厚興趣.

二、“似真”推理——讓學生在探究中發現

數學中的創造都是從猜想開始的.在數學“再創造”的過程中，猜想有著重要的作用.但傳統的數學教學往往忽視這一點，片面強調演繹的作用，偏向于培養學生的邏輯思維能力，這對學生創造能力的培養是很不利的.因此，教師在“再創造”的教學設計中，應引導學生像科學家發現真理那樣去學習.一方面，要鼓勵學生觀察，試驗，用直覺或推理（如合情推理）提出猜想（如性質，法則，公式等），另一方面，又要教會學生善于應用演繹推理的方法，對猜想進行證明.

于是，教師繼續提出問題讓學生猜想.

問題3：梯形與平行四邊形的共同特點是都有一組對邊平行，因此它們“相似”. 類比平行四邊形性質的提出過程，你能提出哪些關于等腰梯形性質的猜想？

學生先獨立思考，再小組內交流，接著教師請各小組派代表在全班匯報.最后師生整理各種猜測得到（如圖2）：

① ∠ABC = ∠DCB，

∠BAD = ∠CDA.

② AB = DC，AC = BD，OB = OC，OA = OD.

③ △BAD ≌ △CDA，△DBC ≌ △ACB，△ABO ≌ △DCO.

④ 梯形ABCD是軸對稱圖形.

⑤ △OBC是等腰三角形.

⑥ 等腰梯形的對角線互相平分.

⑦ S△BAD = S△CDA，S△BAO = S△CDO .

在學生猜想的基礎上，教師引導學生通過將等腰梯形紙片對折，或者用三角板、量角器測量來驗證得到的猜想，從而否定了猜想 ⑥.

由于猜想結論是學生自己發現的，那么猜想結論正確性的證明也就成了學生自發的需要. 于是學生討論認為：

要證明上述結論， 只要證明∠ABC = ∠DCB，其他結論的證明也就一目了然了. 于是教師讓學生證∠ABC = ∠DCB，其余留到課外證.

當學生寫出如下的已知、求證時，即

已知：如圖3，梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD，求證：∠A = ∠D，∠B = ∠D.

教師再引導學生去思考：要證明角相等，常用思路有哪些？當學生回答常用的思路是利用三角形全等，等腰三角形知識或利用平行四邊形知識時，教師繼續啟發學生：怎樣添加輔助線將梯形轉化為三角形或平行四邊形呢？讓學生思考、討論，進而得到添輔助線的兩種方法，即

方法1：作高線（如圖4） 方法2：平移一腰（如圖5和圖6）

“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發現.” 讓學生積極主動地參與猜想與證明，這對培養學生的“再創造”能力十分有益.

以上的教學設計，教師從學生原有的“數學現實”出發，以問題為引導，讓學生從問題中探究，在探究中發現，使學生逐步認識到梯形、等腰梯形的本質涵義.這樣的教學過程，實質上是使學生受到了一次生動具體的“再創造”的訓練過程，在這個過程中，也培養了他們執著探索、勇于發現、不斷進取的數學精神.

三、思想方法——讓學生在解題中體驗概括

數學概念是數學思維的細胞，是學生學習數學知識的基礎，也是數學思維的起點，在數學教學中具有重要的地位.數學概念形成過程所蘊含的數學思想方法，更是數學學習的精髓所在. 從教育的角度來看，數學的思想方法比數學知識更為重要，這是因為知識的記憶是暫時的，數學的思想方法的掌握是永久的；知識只能使學生受益一時，數學的思想方法將使學生受益終生.讓學生在解題中體驗概括數學的思想方法，實質上是使學生用自己的思維方式，重新“創造”有關數學的思想方法.

得到了梯形的概念和等腰梯形的性質，接著教師設計下面的數學問題，讓學生在解題中體驗概括數學思想方法.

例1 如圖7，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD延長兩腰BA和CD相交于點E.

求證：△EBC和△EAD都是等腰三角形.

設計意圖 在圖7中，AE與DE特別地用虛線畫出，目的是為解決下面的例題2向學生暗示“添作輔助線方法”（延長兩腰）.

例2 如圖8，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD若∠B = 60°，AD = 10，BC = 18.

你能用多種方法求出等腰梯形ABCD的周長嗎？

先讓學生獨立做題，再交流解題方法，學生受到例題1的啟發，很快地解決了問題2（解題過程略），然后讓學生概括出解梯形問題的三種添輔助線方法， 如圖9、10、7所示.

例3 如圖11，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB = CD設對角線AC與BD相交于點O，且AC⊥BD，AD + BC = 16，求等腰梯形ABCD的面積.

先讓學生獨立解題，再讓學生說出解題思路.有的同學認為，由“AD + BC = 16”想到延長BC到E，使CE = AD（如圖12），則BE = 16，使問題獲解.或延長AD到E，使DE = BC，…，使問題獲解.也有的同學認為，直接求出等腰梯形ABCD的面積有困難，于是想到將等腰梯形的面積轉化為三角形的面積來計算.過D作DE∥AC交BC的延長線于E，得S梯形ABCD = S△BDE = 64. 還有一名學生認為，雖然添作輔助線的出發點不同，但實質上都是將梯形面積轉化為三角形的面積來計算，體現了化歸思想.最后讓學生總結出添作梯形輔助線的四種常用方法（如圖7、9、10、12）.

通過以上例題 1、例題2、例題3等問題由淺入深的解決，學生從添作輔助線到化歸思想的升華，數學思想方法得到有意識的滲透與落實，進而提高了解決問題的能力.

總之，每名學生都有自己的一套“數學現實”，在學生的“數學現實”的基礎上，將教學過程設計為讓學生“再創造”的過程，必將極大地激發學生學習數學的興趣，從而促進“明天”真正的創造.

【參考文獻】

[1]弗賴登塔爾.教育任務的教學[M].陳昌平，唐瑞芬，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[2]唐瑞芬，主編. 數學教育理論選講[M].上海：華東師范大學出版社， 2001.