構(gòu)造法在平面幾何問題解決中的應(yīng)用

【摘要】 在初中數(shù)學(xué)競賽中，構(gòu)造法是解決數(shù)學(xué)競賽問題的常用方法. 利用構(gòu)造法可以解決三角形、四邊形和多邊形等問題. 通過構(gòu)造法的靈活運用，能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)一步提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)方法分析問題和解決問題的能力.

【關(guān)鍵詞】 構(gòu)造法；平面幾何；解題應(yīng)用

當(dāng)直接解決某一個數(shù)學(xué)問題有困難時，我們可以構(gòu)造與此相關(guān)或有著某種對應(yīng)關(guān)系的另一種數(shù)學(xué)模型，利用所構(gòu)造的數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)使問題得到解決，這種解題方法叫做構(gòu)造法. 構(gòu)造法是以聯(lián)想為平臺，轉(zhuǎn)化為手段的解題方法. 在學(xué)習(xí)與解題過程中需要不斷實踐與體會，才能逐步學(xué)會并運用.

一、構(gòu)造法在三角形中的應(yīng)用

例1 如圖，在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且∠CAB = 2∠CBA，求證：a2 = b（b + c）.

分析 仔細(xì)觀察所求證的等式的形式特征，可構(gòu)造相似三角形，通過對應(yīng)邊成比例使命題得證.

證明：延長CA至點D，使AD = AB，

連接BD，

通過以上問題的解決，使學(xué)生學(xué)會了根據(jù)求證等式的形式特征，構(gòu)造相似三角形這一數(shù)學(xué)模型，并利用構(gòu)造的相似三角形的性質(zhì)使問題得到解決. 上面的問題還可以推廣為更一般的情況：

例2 如圖，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA的對邊分別為a，b，b，且∠CAB ∶ ∠CBA ∶ ∠ACB = 1 ∶ 2 ∶ 4，求證：bc = a（b + c）.

通過以上問題的解決，可以拓寬學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 上面的問題還可以做變式訓(xùn)練如下：

變式訓(xùn)練：如圖，PA = PB，∠APB = 2∠ACB，AC與PB交于點D，且PB = 4，PD = 3，求AD·DC的值. （全國初中數(shù)學(xué)競賽題）

二、構(gòu)造法在四邊形中的應(yīng)用

在有些四邊形問題可以利用構(gòu)造法解決.

例3 在四邊形ABCD中，AC = BD = a，P為AC與BD的交點，∠APD = 60°，求四邊形ABCD的面積.

分析 從已有的圖形較難求出四邊形ABCD的面積，由已知AC = BD，由此聯(lián)想到菱形，構(gòu)造菱形解題.

通過以上問題的解決，構(gòu)造法也可以在四邊形中得到應(yīng)用，進(jìn)一步提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 上面的問題還可以做變式訓(xùn)練如下：

變式訓(xùn)練：如圖，在四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′中，若AC = A′C′，BD = B′D′，∠APD = ∠A′P′D′，求證：S四邊形ABCD = S四邊形A′B′C′D′.

三、構(gòu)造法在多邊形中的應(yīng)用

在有些多邊形問題中可以利用構(gòu)造法解決問題.

例4 已知正九形A1A2A3，…，A9，A1A2 = a，A1A3 = b，求A1A5的長.

分析 由于已知圖形較難畫出，且所求只涉及A1A5，因此可只畫出局部圖形A1A2A3A4A5，連接A1A5. 根據(jù)正多邊形的特征（內(nèi)角相等），可知∠A1 = ∠A2 = 60°，由此聯(lián)想正三角形，構(gòu)造正三角形解題.

變式訓(xùn)練2：如圖，一個六邊形的6個內(nèi)角都是120°，其連續(xù)四邊的長依次是1 cm，9 cm，9 cm，5 cm，求這個六邊形的周長.

通過以上3個方面的問題探討，使學(xué)生學(xué)會了用構(gòu)造法解平面幾何題的方法，通過問題的變式訓(xùn)練，拓寬了學(xué)生的視野，進(jìn)一步提高了學(xué)生分析問題和解決問題的能力，培養(yǎng)了學(xué)生的“應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識”，并落實到了初中數(shù)學(xué)競賽教學(xué)中去，從而提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，逐步形成應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的良好習(xí)慣.

【參考文獻(xiàn)】

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