探析四邊形的一個不等式

【摘要】 在初中數學中，四邊形是一個知識重點，在四邊形中對于四邊形變成和面積的考察越來越成為中考的重點，根據四邊形的各個邊長之間的性質，本次研究針對四邊形中的不等式來進行研究和分析，通過四邊形的性質和不等式的性質，在不等式和四邊形的考試中建立考點，找到知識的重點，有針對性地對此類問題進行解決.

【關鍵詞】 四邊形；不等式；比例關系

在四邊形問題的處理中，學生能力的培養十分重要. 其中，反思能力在數學學習中起著至關重要的作用，我們發現在日常的數學教學中，很多時候老師只是一味強調思維能力，而沒有強調反思能力. 不等式反思是數學活動的核心和動力，初中數學與小學數學相比更加強調思維性，很多時候學生不可能一次性地直接把握數學活動的本質，這時反思就起到了關鍵作用.學生通過回顧完成的解答， 重新檢查和思考自己的解題思路，可以鞏固學到的知識， 強化他們的解題能力，并及時的發現、解決問題. 鍛煉學生的反思能力可以調動學生學習的主動性，讓他們學會主動學習，從而提高學習的效率.

一、四邊形的性質

判定平行四邊形的幾種方法，決不能讓學生死記硬背，而應在木條釘做的四邊形教具的幫助下，讓學生通過觀察去發現在何種條件下才能得到一個平行四邊形. 通過圖形直觀感受的同時，更要重視培養學生的推理意識和能力. 教材對幾何推理的淡化，并非是放棄，而是因為對這種能力的培養是呈螺旋上升的. 在關注學生動手能力的同時，教師要抓住時機對一些結果加以必要的推理論證. 如通過菱形的性質和它的判別方法（性質：菱形的四條邊都相等，兩條對角線互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角. 判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；對角線互相垂直的平行四邊形是菱形；四條邊都相等的四邊形是菱形）的對比引出平行四邊形的概念.

（1）引導學生根據圖，敘述平行四邊形的概念，引出課題.

（2）注意它與四邊形的特殊與一般的關系：平行四邊形是特殊的四邊形，因此它具有四邊形的一切性質（共性）.同時還具有一般四邊形不具備的特殊性質（個性）.

（3）強調定義既是平行四邊形的一個判定方法，同時又是平行四邊形的一個性質.

（4）介紹平行四邊形的符號表示及定義的使用方法：

① ∵平行四邊形ABCD，∴ AD∥BC，AB∥CD（平行四邊形的定義）.

② ∵ AD∥BC，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（平行四邊形的定義）.

二、不等式的基本性質

性質1：如果a > b，b > c，那么a > c（不等式的傳遞性）.

性質2：如果a > b，那么a + c > b + c（不等式的可加性）.

性質3：如果a > b，c > 0，那么ac > bc；如果a > b，c < 0，那么ac < bc.

性質4：如果a > b，c > d，那么a + c > b + d.

性質5：如果a > b > 0，c > d > 0，那么ac > bd.

性質6：如果a > b > 0，n∈N，n > 1，那么an > bn，

三、關于四邊形的一個不等式

定理 設凸四邊形ABCD的邊長和面積分別為a，b，c，d和△，則有（a2 + b2）（c2 + d2）（b2 + c2）（d2 + a2） ≥ 16△4. （1）

證明 設四邊形ABCD的對角線AC，BD的長分別為m，n，AC，BD交于O，夾角為θ，則ac + bd ≥ mn.

∵ △ = 12OC·OB sin θ + 12OC·ODsin（180° - θ） + 12OD·OA sin θ + 12OA. OB sin θ = 12AC·BD sin θ ≤ 12mn，

∴ mn ≥ 2△. ∴ ac + bd ≥ 2△. （2）

由柯西不等式有：

（a2 + b2）（c2 + d2） ≥ （ac + bd）2，

（b2 + c2）（d2 + a2） ≥ （ac + bd）2.

兩式相乘，應用（2）即得（1）.該定理延伸至平行四邊形：

在平行四邊形ABCD中，有如下的結論：

AB2 + BC2 + CD2 + DA2 = AC2 + BD2.

在一般四邊形ABCD中，有如下不等式：

AB2 + BC2 + CD2 + DA2 ≤ AC2 + BD2

當且僅當ABCD為平行四邊形時，不等式取等號. 本文建立了涉及四邊形的一個新的更加廣泛的不等式：

定理 在四邊形ABCD中，用S表示面積，則AB2·S△COD + BC2·S△DOA + CD2·S△AOB+DA2·S△BOC ≤ （AC2 + BD2）·SABCD4，當且僅當四邊形ABCD為平行四邊形時，不等式取等號.

四、課堂反思對四邊形不等式的學習

初中階段注意對學生的反思能力的培養，可以大大提高他們自主學習的能力，從而把孩子們從題海戰中解放出來，使學習變得相對輕松起來. 學生的數學反思能力不是與生俱來的，它是在學習的過程中通過老師、學生的多方努力逐漸培養起來的. 在數學教學中，有很多進行反思能力訓練的方法.

1. 養成記錄的習慣

學習時充分留意老師所講的每一個細節，重要的地方要記錄下來. 每節課結束后及時歸納總結自己不會、不懂的地方，并及時請教同學和老師. 養成給自己定學習計劃的習慣，每天的、每周的、每月的學習目標都詳細的記錄下來. 定期檢查自己的學習計劃是否完成并及時作出調整. 根據自己所做的記錄總結出習題的每種解法，對于自己不太懂的習題總結出最優解法，標出易錯點. 養成記錄的習慣可以總結各種經驗、教訓，從而幫助今后的復習.

2. 學會解題反思

學生在數學解題時需要反思的方面很多.首先，要反思自己審題時是否讀透了題目，是否正確地理解了題意，是否抓住了題干. 其次，要反思自己在解題過程中是否采取了最優解題方法，是否產生計算錯誤，是否還有其他的解題方法. 另外，在解題后要反思如果適當地改變題目，那么解決問題的方法是否會發生變化，解題過程中還有哪些是自己需要課后強化的地方.

3. 作業反思，小結反思

利用作業可以幫助學生反思本節課的知識點、相關注意事項、解題步驟、解題技巧、思想方法、有關結論， 從而起到復習鞏固的作用. 小節反思也是很好的一種反思方法，每天留出一點時間，讓同學針對自己課上的疑問相互交流，進行查漏補缺，既提高了自己也幫助了別人.

學習是一個全方位、多層次、多角度的過程. 注重學生反思能力的培養可以激發學生的求知欲. 讓學生學會發現問題、解決問題，從而真正達到素質教育.

五、不等式問題的例題

1. 什么叫不等式？說出不等式的三條基本性質.

2. 當x取下列數值時，不等式1 - 5x < 16是否成立？

3，-4，-3，4，2.5，0，-1.

3. 用不等式表示下列數量關系：

（1）x的3倍大于x的2倍與5的差；

（2）y 與x的差小于2；

（3）y的一半與4的和是負數；

（4）5與a的4倍的差不是正數.

以上問題都是針對不等式的一些問題，通過這些問題的思考和求解可以提升學生的解不等式能力. 在學生回答完上述問題的基礎上，教師指出：本節課我們將通過學習例題和練習，進一步鞏固并熟練掌握不等式的基本性質，尤其是不等式基本性質.

六、不等式的求解要點

1. 在初等代數中，與四邊形聯系的不等式，占有不小的篇幅.由于不等式就其概念、解法、解集與方程有許多相似之處，在中學代數中，常常將不等式與方程平行安排，以便將它們進行比較.這不僅使學生對不等式整體結構有所掌握，而且對不等式與方程的不同點也有深刻印象.

2. 對不等式的研究過程與方程類似，包括不等式的同解理論、不等式的解法、列不等式解應用題等.初等代數對同解不等式討論較少，而列不等式解應用題，雖然它的教育作用和方程一樣是很大的，但由于需要列不等式解決的應用題較難，學生接受有困難，所以初等代數不作高要求，只是限于某些數學問題，如求函數定義域，討論滿足某種條件的、含參數m的二次方程中m的取值范圍等問題的初步應用.所以，解各類不等式成為初等代數中不等式部分的教學重點.

3. 如前面所述，不等式與方程在概念、性質、解法等方面都有類似之處，但又有差別.相同的方面：不等式與方程有關概念下定義的方式類同；等式與不等式均具有傳遞性；解一元一次方程與解一元一次不等式的步驟一致.不同的是：方程與不等式解的結構不同，前者的解一般是有限集，而后者的解一般是無限集；等式與不等式的性質不同，前者有反身性，后者卻沒有，但后者具有對逆性.由于解一元一次不等式的步驟與解方程相同，學生不會感到困難. 但兩邊同除以未知數的系數時，常不自覺地與解方程作相同處理，因而出現錯誤.為此應提醒學生注意不等式與方程的不同點.這是學好不等式的關鍵.

【參考文獻】

[1]顧宏萍.面對中考的數學總復習[A].《新時代的腳步聲》之五——現代教育新論[C].2002.

[2]王金偉.高考化學總復習之我見[A]；《新時代的腳步聲》之五——現代教育新論[C].2002.

[3]宋茜.初中數學分層教學的實踐與思考[A]；中國重汽科協獲獎學術論文選編（2000-2001）[C].2002.

[4]黃紹軒.淺談初中數學教學中探索性思維的培養[A]；第三屆廣西青年學術年會論文集（自然科學篇）[C].2004.