數學史在數學分析教學中的應用

【摘要】在數學分析的教與學中，對數學概念的講授和學習是比較枯燥的，學生難以接受，但概念的學習和理解卻很重要.為此，在概念教學中引入數學史是一個非常有效的手段，本文以極限及導數這兩個概念的教學為例，說明如何在數學分析的概念教學中穿插數學史.

【關鍵詞】數學史；數學分析；極限；導數

數學作為自然科學的基礎學科，伴隨人類產生而產生、發展而發展，從屈指數數到信息技術，數學史折射著人類的發展史.陳省身先生曾說“了解歷史的變化是了解這門科學的一個步驟”，可見傳播數學史是了解數學的重要部分.李文林先生在《數學史概論》中也談到“數學史在整個人類文明史上的特殊地位，是由數學作為一種文化的特點所決定的”.2007年“第二屆數學史與數學教育研討會暨數學史會議”上，宋乃慶教授提出數學史與數學教育相融合的觀點，數學史支持數學教育的發展，數學教育也拓展并深化數學史的價值.數學史融入數學教學值得重視與思考，新頒布的《全日制義務教育數學課程標準》中提出“數學文化作為教材的組成部分，應滲透在整套教材中”.高中課程標準中也明確提出了“數學史”.數學史是數學文化的重要部分，可見，數學史在數學教學中的滲透非常值得關注.

在數學分析的教學中，通過數學曲折的發展歷史，適當滲透數學史，可以促進學生對數學分析的理解和數學分析價值的認識，滿足學生的求知欲和好奇心，構筑數學分析與人文之間的橋梁，從而使課堂消除枯燥，告別沉悶.數學分析教學中融入數學史的必要性，主要體現在五個方面：數學史是數學分析教學的重要組成部分；數學史可以幫助學生認識數學分析，形成正確的數學觀；數學史有利于培養學生正確的數學思維方式；數學史可以構建數學與人文學科之間的橋梁，有利于培養學生對數學的興趣，激發學生學習數學的動機，在數學分析教學中融入數學史有助于學生非智力因素的發掘；學習數學史為德育教育提供了舞臺.

王梓坤院士曾指出：“數學教師的職責之一在于培養學生對數學的興趣，這等于給了他們長久鉆研數學的動力.優秀的數學教師之所以在學生心中永志不忘，就是由于他點燃了學生心靈中熱愛數學的熊熊火焰.”

數學概念絕不是生來就枯燥乏味的，相反，它是生動的.因此，在概念教學中，教師可以從數學概念發展的過程中，借鑒對教學有價值的內容，充分調動學生頭腦中相關的知識經驗和生活經驗，“再創造”生成概念.本文通過兩個具體的教學實例，對概念教學中數學史的滲透進行了詳細剖析.

1.從利用割圓術求圓周率引入極限概念

極限是數學分析中最基本的工具，整個數學分析的體系都建立在這一概念基礎之上；極限是微積分的基礎，是學生由初等數學到高等數學思維方法轉變的關鍵，因而被視為微積分教學的重要理論工具.可以說，沒有函數的極限與連續性的概念，就不可能有數學分析的嚴格結構.只有借助極限的概念，才能對自然科學中所碰到的許多具體量給出完整而嚴密的定義，因此某些人曾招致各種批評職責.為了回答批評者，萊布尼茲于1687年提出了連續性的哲學原理：“在任何假定的向任何終點的過渡中，允許制定一個普遍的推論，但最后的終點也可以包括過去.”但這不是今天的數學公理.19世紀對分析的嚴密性作出突出貢獻的是法國的數學家柯西，他給出了極限的嚴格定義，在一定程度上澄清了微積分基礎問題上長期存在的混亂，向分析的嚴格化邁出了關鍵的一步.

其實，極限的思想在我國古代就有，而且有很重要的應用，這就不得不提到我國古代兩位偉大的數學家——劉徽和祖沖之.劉徽是公元三世紀世界上最杰出的數學家，他在公元263年撰寫的著作《九章算術注》以及后來的《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產.其中劉徽以極限思想為指導，提出用“割圓術”來求圓周率，既大膽創新，又嚴密論證，從而為圓周率的計算指出了一條科學的道路，奠定了此后千余年中國圓周率計算在世界上的領先地位.劉徽用單位圓的內接正n邊形的周長近似圓的周長，給出圓周率π的近似值，在這個過程中，n越大，即分割越細，誤差越小，如此不斷地分割下去，一直到圓周無法分割為止，也就是到了圓內接正多邊形的邊數無限多的時候，它的周長就與圓周“合體”而完全一致了.用他的原話說是“割之彌細，所失彌少，割之又割，以之于不可割，則與圓周合體而無所失矣”.若我們記圓周的周長為C，內接正n邊形的周長為Cn，那么，這句話翻譯過來恰恰是數列極限的概念：

對于任意給定的實數ε>0，只要n足夠大（割之彌細），內接正n邊形的周長為Cn與C之間的差距就可以小于ε（所失彌少），即|Cn-C|<ε.

2.從現實問題引入微積分概念

到了17世紀，有許多科學問題需要解決，這些問題也就成了促使微積分產生的因素.歸結起來，大約有四種主要類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題.第二類問題是求曲線的切線的問題.第三類問題是求函數的最大值和最小值問題.第四類問題是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力.

17世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題做了大量的研究工作，如法國的費爾馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格，英國的巴羅、瓦里士，德國的開普勒，意大利的卡瓦列利等人都提出許多很有建樹的理論，為微積分的創立作出了貢獻.17世紀下半葉，在前人工作的基礎上，英國大科學家牛頓和德國數學家萊布尼茲分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作，雖然這只是十分初步的工作.他們的最大功績是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）.牛頓和萊布尼茲建立微積分的出發點是直觀的無窮小量，因此這門學科早期也稱為無窮小分析，這正是現在數學中分析學這一大分支名稱的來源.牛頓研究微積分著重于從運動學來考慮，萊布尼茲卻是側重于幾何學來考慮的.牛頓在1671年寫了《流數法和無窮級數》，這本書直到1736年才出版，他在這本書里指出，變量是由點、線、面的連續運動產生的，否定了以前自己認為的變量是無窮小元素的靜止集合.他把連續變量叫做流動量，把這些流動量的導數叫做流數.牛頓在流數術中所提出的中心問題是：已知連續運動的路徑，求給定時刻的速度（微分法）；已知運動的速度，求給定時間內經過的路程（積分法）.德國的萊布尼茲是一個博才多學的學者，1684年，他發表了現在世界上認為是最早的微積分文獻，這篇文章有一個很長而且很古怪的名字《一種求極大極小和切線的新方法，它也適用于分式和無理量，以及這種新方法的奇妙類型的計算》.就是這樣一篇說理也頗含糊的文章，卻有劃時代的意義.它已含有現代的微分符號和基本微分法則.1686年，萊布尼茲發表了第一篇積分學的文獻.他是歷史上最偉大的符號學者之一，他所創設的微積分符號遠遠優于牛頓的符號，這對微積分的發展有極大的影響.現在我們使用的微積分通用符號就是當時萊布尼茲精心選用的.

微積分學的創立，極大地推動了數學的發展，過去很多初等數學束手無策的問題，運用微積分，往往迎刃而解，顯示出微積分學的非凡威力.前面已經提到，一門科學的創立絕不是某一個人的業績，他必定是經過多少人的努力后，在積累了大量成果的基礎上，最后由某個人或幾個人總結完成的.微積分也是這樣.不幸的是，由于人們在欣賞微積分的宏偉功效之余，在提出誰是這門學科的創立者的時候，竟然引起了一場軒然大波，造成了歐洲大陸的數學家和英國數學家的長期對立.英國數學在一個時期里閉關鎖國，囿于民族偏見，過于拘泥在牛頓的“流數術”中停步不前，因而數學發展整整落后了一百年.

其實，牛頓和萊布尼茲分別是自己獨立研究，在大體上相近的時間里先后完成的.比較特殊的是牛頓創立微積分要比萊布尼茲早10年左右，但是正式公開發表微積分這一理論，萊布尼茲卻要比牛頓早三年.他們的研究各有長處，也都各有短處.那時候，由于民族偏見，關于發明優先權的爭論竟從1699年始延續了一百多年.應該指出，這是和歷史上任何一項重大理論的完成都要經歷一段時間一樣，牛頓和萊布尼茲的工作也都是很不完善的.他們在無窮和無窮小量這個問題上，其說不一，十分含糊.牛頓的無窮小量，有時候是零，有時候不是零而是有限的小量；萊布尼茲也不能自圓其說.這些基礎方面的缺陷，最終導致了第二次數學危機的產生.

直到19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎，才使微積分進一步地發展開來.任何新興的、具有無量前途的科學成就都吸引著廣大的科學工作者，在微積分的歷史上也閃爍著這樣的一些明星：瑞士的雅科布·貝努利和他的兄弟約翰·貝努利、歐拉、法國的拉格朗日、柯西……歐氏幾何也好，上古和中世紀的代數學也好，都是一種常量數學，微積分才是真正的變量數學，是數學中的大革命.微積分是數學分析的主要分支，不只是局限在解決力學中的變速問題，它馳騁在近代和現代科學技術園地里，建立了數不清的豐功偉績.

其實我們每個人的成長過程中都學到過不少數學知識，但是在很多人心目中，數學似乎是門無趣甚至可怕的科目.尤其到了數學分析的微積分，到處都是定義、定理、公式，令人望之生畏.我們會害怕一個學科的原因之一，是由于距離感，那些微積分里的東西，好像不知是從哪兒冒出來的，對它毫無感覺，也覺得和我毫無關系.如果我們知道這些東西是怎么演變、由誰發明的，而發明之時還發生了些什么事，發明者是什么樣的人等等，這種距離感就應該會減少甚至消失，數學就不再是如此可怕了.

【參考文獻】

[1]李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]張奠宙，宋乃慶.數學教育概論[M].北京：高等教育出版社，2005.

[3]劉玉璉.數學分析[M].北京：高等教育出版社，2003.