淺析反例在概率統計教學中的作用

【摘要】反例是一種重要的教學思想，在概率統計教學中，恰當地引入反例，能夠加深學生對基本概念、定理的理解和掌握，培養學生的邏輯思維和發散思維能力.本文針對概率統計教學中的一些理解困難的概念和命題，結合反例進行說明.

【關鍵詞】概率統計；反例；教學

1.引言

概率統計是理工科高校各專業的一門公共基礎課，概念定理比較多，很多學生對概念的掌握不準確，無法正確運用概率統計思想來分析問題和解決問題.在教學中恰當地運用反例，對于正確理解概念的本質，鞏固和掌握定理、公式等將起著十分重要的作用，同時能夠培養學生的邏輯思維能力.因此，在學習中如果能恰當地使用反例來幫助我們理解知識，不僅是一種有效的方法，也是一種必要的手段.下面我們主要從反例構造及其作用來進行討論.

2.反例能幫助學生正確理解概念，加深對問題的認識

在概率統計的教學中，學生經常對一些概念和命題的理解是完全錯誤的，走向另一個極端，如果能夠恰當地運用反例從中說明，學生會很快地理解概念的本質，從而加深對知識的深化理解.下面我們舉幾個簡單的例子來說明反例對問題理解的重要性.

在概率統計教學中，我們強調不可能事件的概率為零，反之卻不一定成立.也就是說概率為零的事件是存在的.學生一開始會覺得這個觀點難以接受，可當我們舉出反例，學生會有恍然大悟的感覺.事實上，當我們考慮古典概型時，概率為零的事件一定是不可能事件；當我們考慮幾何概型時，概率為零的事件未必是一個不可能事件.例如：設試驗E為“隨機地向邊長為1的正方形內投點”，事件A為“投在正方形的一條對角線上OB上的點”（見圖）.

此時，樣本空間S={（x，y）|0

雖然P（A）=線段OB的面積邊長為1的正方形的面積=01=0，但事件A卻可能發生.再有，對于連續性隨機變量，它在某固定點取值的概率為零，但它不是不可能發生的事件.發生上述情形的原因，在于概率是一個測度，有測度為0的不可數集存在，并且對于連續函數來說，在一點處的積分為零.由對立事件可知，概率為1的事件未必是必然事件.通過這些例子讓學生更加深刻地理解了概率為零的事件不一定是不可能事件，概率為1的事件未必是必然事件.

在教學中恰當地運用這些反例，不僅能讓學生深刻理解概念，而且會使教學達到事半功倍的效果.反例不僅能夠讓學生正確地理解概念，而且也能夠讓學生快速地理解不同概念的差異.在教學中，學生對于兩個事件互不相容和相互獨立的概念，很容易混淆.事實上，兩個事件互不相容，又稱為互斥，是指兩個事件在樣本空間中呈現出沒有交集的兩個集合，自然互斥事件的積是空集，故積事件的概率為0.而對于兩個獨立的事件，必然存在積的概率等于概率的乘積.如果事件A和B是互斥的，且P（A）>0，P（B）>0，則事件A，B一定不獨立.舉例說明：P（A）=12，P（B）=14，A和B是互斥的，則P（AB）=P（）=0，而P（AB）≠P（A）P（B）=18，故A和B是不相互獨立.通過此例子，學生可以很好地理解兩個事件互斥和相互獨立的概念.

3.正確地構造反例，有助于提高學生的數學素養

在學習極大似然估計時，我們曾提到極大似然估計不具有唯一性，但并沒有深入的討論.如何更好地理解這一性質呢？如果我能夠構造出一個例子來說明極大似然估計不是唯一的，學生便會對這一性質有更深刻的認識.

4.反例可以提高解題的速度

在選擇題中，如果從正面肯定不易而從反面否定較容易的，可以通過反例來解決問題，以達到快速解決問題.

例：下面哪一個函數可能成為一個隨機變量X的分布函數？

A.F（x）=1x∈[0，1]0其他B.F（x）=e-xx≥01x<0

C.F（x）=exx<01x≥0D.F（x）=1-e-xx∈R

解要判定一個函數能否成為某個隨機變量的分布函數，就是要驗證它是否具有分布函數的三條基本性質，即非負性，非降性，滿足右連續性且F（-∞）=0，F（+∞）=1.此題正面驗證三條性質比較困難，我們可以反過來思考，在A選項中，把+∞代入可知F（+∞）=0，故答案不正確.在B答案中，F（-∞）=1，因此B也不對.而D中的F（-∞）≠0.故應選擇C.

5.運用反例應注意的一些問題

在概率統計學習中恰當地運用反例，不僅可以調動我們學習的積極性，而且可以提高我們的數學能力和學習能力.但在學習中，運用反例還必須注意如下問題：

首先，注意主次.學習中主要學習概念、定理和方法，對于基本的命題和結論應予以嚴格的證明和推導.但舉反例重在說明結構、辨清是非，反例應該作為圍繞主要內容而進行的有效的輔助學習手段.

其次，注意適當.反例應是經過挑選的，既要簡單又要能說明問題.學生自己構造的反例難度應當適當，以免浪費很多時間和精力.

總之，在概率統計教學中，恰當地運用反例，有助于學生正確理解概念，加深對問題的認識，有助于培養學生的數學素養，進而提高概率統計教學質量.但在運用的過程也要符合學習的實際情況.