高中定積分教學設計探究

【摘要】近年來高考試題知識面擴大，重在考查學生對知識的靈活運用，本文提出了在高中數學中如何引入定積分以及教師如何講解等觀點.

【關鍵詞】原函數；定積分；不定積分

一、引言

在高中階段加入定積分，擴大了學生學習的知識面，減少了在求解不規則平面圖形面積問題的運算量，也為學有余力的同學提供了進一步學習的途徑和機會.

二、引入定積分的總體結構和內容

為了讓學生掌握導數部分的內容，為后面原函數的學習打下基礎，積分的學習應該安排在高中第三冊第四章分四節課時去完成.前言部分提出如何求解不規則圖形的面積問題.

1.原函數和不定積分

由導數內容知道微分法的基本問題是研究如何從已知函數求出它的導數，那么與之相反的問題是求一個未知函數，使其導數恰好是某一個已知函數，這就引入了原函數的概念，即：

設函數f（x）與F（x）在區間I上都有意義，若F′（x）=f（x），則稱F（x）為f（x）在區間上的一個原函數.再舉出例子，強調積分常數C，也就是f（x）在基礎上的任意兩個原函數之間只可能相差一個常數，因為[F（x）+C]′=F（x）′+C′=F（x）′=f（x） ，x∈I.f（x）在區間I上的全體原函數稱為f（x）在I上的不定積分，記作∫f（x）dx，即為不定積分的概念.知道了原函數的定義，學生會困惑如何去求原函數，這時把基本導數公式推導成基本積分公式，要求學生能理解并記憶這些原函數及公式.

2.學習定積分

提出定積分時先聯系引言部分的不規則圖形面積.以前介紹過圓的面積是用一系列邊數無限增多的內接（或外切）正多邊形面積的極限來定義的，現在我們用類似的辦法來定義曲邊梯形的面積.

把曲邊梯形的底邊分成無數個小區間，再在小區間上任取一點作高f（x），求出小矩形的面積，用小矩形的面積代替小曲邊梯形的面積，這n個小矩形的面積之和就可以作為該曲邊梯形面積的近似值.S≈∑ni=1f（ξi）Δxi，應用了分割、求和、求極限的思想，使同學們明白定積分是一種特殊和式的極限.

設f（x）是定義在[a，b] 上的一個函數，J是一個確定的實數，若對任意給的正數 ε，總存在某一正數 δ，使得對[a，b] 的任何分割T，以及在其上任意選取的點集 {ξi}，只要| |T||<δ就有

∑ni=1f（ξi）Δxi-J<ε，數J稱為f（x）在[a，b] 上的定積分，記作J=∫baf（x）dx{ξi}.

顯然，積分和與分割T有關，又與所選取的點集{ξi}有關.所以說定積分是某種特殊和式的極限.（給出定積分和不定積分的區別）

連續曲線y=f（x）≥0在[a，b]上形成的曲邊梯形面積為S=∫baf（x）dx； 給出定積分的幾何意義并畫出幾何圖，對于一般非定號的f（x）而言，定積分J的值則是曲線y=f（x）在x軸上方部分所有曲邊梯形的正面積與下方部分所有曲邊梯形的負面積的代數和.課后習題要求學生按定義計算定積分.

3.牛頓-萊布尼茨公式

從上節習題看到，求積分和的極限來計算定積分一般很煩瑣，而牛頓-萊布尼茨公式為定積分的計算提供了一個有效的方法，在理論上把定積分與不定積分聯系了起來.應用公式時，F（x）可由積分法求得.這一節要求學生會靈活運用公式計算定積分，多設置例題加強練習.

4.定積分的應用

本節在定積分幾何意義的基礎上，著重討論由復雜曲線所圍成的不規則平面圖形的面積.已經討論過由連續曲線y=f（x）（≥0） ，以及直線x=a，x=b（a

如果f（x）在[a，b]上不都是非負的，則所圍圖形的面積為A=∫ba|f（x）|dx=∫ba|y|dx.

一般地，由上、下兩條連續曲線y=f1（x）與y=f2（x）以及左、右兩條直線x=a與x=b （a

A=∫ba[f2（x）-f1（x）]dx.

在講解時強調在用定積分求解面積時對一些特殊的不規則圖形要分區間進行討論，才能正確求出曲邊梯形的面積.

三、后記

本章內容在教學上要為學生提供豐富的教學材料，注重知識間的聯系，使學生明白定積分的概念就是分割、求和、極限的思想；在學習的過程中應該指導學生自我提問，引導學生反思，啟發學生去思考為什么叫牛頓-萊布尼茨公式，通過對相關數學史的了解和探索，激發學習興趣，讓學生站在更高的角度去感受數學思想的產生.