對教材一個探究內容的設計與反思

【摘要】探究內容的設計，需要靈活、機智，處理得當，能起到畫龍點睛的作用.

【關鍵詞】探究；成就；反思

高中《數學》人教A版必修2第2.3.2節“平面與平面垂直的判定”中，教材在例3完成后安排了探究問題：

圖1如圖1，已知：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發現哪些平面互相垂直？為什么？

在處理這個探究問題時，感覺比較糾結，如果先講例題，那么探究的意義就不太明顯了，如果展開探究活動，對本節課的計劃有較大的影響，如果為了完成任務而探究，又感覺比較草率，有點浪費研究這個幾何模型的機會.因此，在這里我把這個探究活動安排在面面垂直的性質學完之后，當作一個研究性學習課，安排學生從探究如何證明空間的線線垂直、線面垂直、面面垂直入手，通過長方體模型中的垂直關系，層層遞進，探索常見的空間幾何體中的垂直關系.

探究一：四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB.

①試判斷圖中有哪些線線垂直，并簡單說明；

②試判斷圖中有哪些線面垂直，并簡單說明；

③試判斷圖中有哪些面面垂直，并簡單說明；

④如果PA=AB=2，P，A，B，C，D在同一個球面上，能否通過計算得到這個球體的表面積和體積？

①試判斷圖中有哪些線線垂直，并簡單說明；

分析：這個模型是長方體模型的一個重要組成部分，要得到線線垂直，可以考慮哪些線線、線面、面面之間的關系？根據所學內容，學生自然能想到：①直角，②線面垂直.從直角入手，得到AD⊥AB，AD⊥DC，BC⊥AB，AD⊥PA， CD⊥BC，

PA⊥AB，PA⊥BC， PA⊥CD.

從線面垂直入手，有PA⊥面ABCD.

DA⊥面PABDA⊥PB，

BC⊥面PABBC⊥PB，

AB⊥面PADPD⊥AB，

CD⊥面PADPD⊥CD.

②試判斷圖中有哪些線面垂直，并簡單說明；

由①，DA⊥面PAB，BC⊥面PAB，AB⊥面PAD，CD⊥面PAD，只需要在前面的線線垂直中選兩個條件，就能得到相應的線面垂直.

③試判斷圖中有哪些面面垂直，并簡單說明；

圍繞判斷面面垂直的結論：“如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直.”由線面垂直入手，如DA⊥面PAB，DA面PAD 面PAD⊥面PAB，根據相同的思路，步步深入，可以得到其他的面面垂直關系.

④如果PA=AB=2，P，A，B，C，D在同一個球面上，能否通過計算得到這個球體的表面積和體積？

這個問題的產生，是為了回顧長方體的外接球的有關計算，在前面已經學了球的表面積和體積的知識，啟發學生利用切割長方體的方法得到，該模型的外接球就是和它同底同高的長方體的外接球，順利地得到結果.

探究一的設計意圖是為了讓學生積累解決垂直問題的經驗，并獲得研究問題的一般方法，由淺入深，層層遞進.完成了探究一后，設計練習，達到意識的強化與鞏固，增加自信心，收獲成就感.

如圖2，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD于A，且PA=AB.

（1）若E在PB上，AE⊥PB，F在PC上，AF⊥PC.證明面PBC⊥面AEF.

（2）若PA=AC=2，AB=4，求二面角A-PB-C的正弦值和二面角P-BC-A的大小.

（3）證明P，A，B，C四點在同一球面上.

帶著前面的經驗，研究問題二的探究過程.

探究二：

圖2問題一：已知在三棱錐S-ABC中，∠ACB=90°，又SA⊥平面ABC，

AD⊥SC于D，求證：AD⊥平面SBC.

分析設問1：能否找到面SBC內的兩條直線，都和直線AD垂直？自然能得到AD⊥SC，只需要尋找下一個垂直，從已知條件出發，給出設問2：AD⊥BC嗎？為什么？解決這個設問，就解決了本探究的證明思路.

問題二：解答剛開始提出的課本探究.

如圖1，已知：AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能發現哪些平面互相垂直，為什么？

學生通過問題一，能發現面SAC⊥面SBC，并能找出其他的面面垂直.

問題三：已知在三棱錐S-ABC中， SA⊥平面ABC，又平面SAC⊥平面SBC.

能得到AC⊥BC嗎？請說明理由.

分析：借助問題一中得到AD⊥BC的過程，啟發學生得到證明BC⊥平面SAC的思路，接下來，就如何證明BC⊥平面SAC展開問題探究，發現了問題的解決過程.

最后，學生把整個過程完善，整理成成果，就是一個很優秀的研究性學習作品，在學習中體驗了成就感.

反思：其實教材中有許多“思考”、“探究”，都可以作為很好的研究性學習案例，只要設計恰當，定能達到錦上添花，畫龍點睛的效果，因此，在研究教材教法，準備教學環節時，需要做個有心人.