讓學生對“弧度”不糊涂

【摘要】對弧度的角的定義采用實驗操作的動態生成教學法，并設置梯度式的重難點處理的思路和方法，使得教學過程顯得直觀生動，環節合理緊湊，內容由淺入深，在一種輕松愉悅的氛圍中，使學生學得輕松、教師教得輕松，既可收到良好的教學效果，還有利于促進師生的互動交流，培養學生善于觀察、辯證思考的良好思維品質.

【關鍵詞】數學；弧度制；教學方法；教學效果

弧度制是高中或高職高專五年一貫制數學教學內容中的一個重點，同時也是一個難點.因為以弧度作為角的度量單位，對三角函數的研究極為方便，以此作為基礎，才使得三角函數的定義域都是實數集的子集，才會有我們所熟知的優美的三角函數圖像和三角函數的那么多神奇的性質.

但是很多同學對1弧度的角這個概念理解有困難，原因是本身這個概念比較抽象，其次是老師通常只是與1度的角作為比較來進行教學，比較的結果是學生知道弧度是另外一種度量角的單位，知道度量角的單位有兩種，也能通過熟讀熟記區分開度和弧度.老師也可以采用多媒體通過動畫演示來進行教學，但動畫演示也不能做到實驗操作所能達到的直觀效果，致使學生和老師始終認為弧度制不好理解、不好講，師生雙方面對弧度制的教學都存在畏難情緒.針對這種情況，本人通過幾次的教學實踐并不斷嘗試改進后，對1弧度的角的定義采用實驗操作的動態生成教學法，設置合理緊湊的教學環節，并設置梯度式的重難點處理的思路和方法，內容由淺入深，在一種輕松愉悅的氛圍中，師生共同參與完成教學任務.

1.復習角度制，做好鋪墊

為了幫助學生理解弧度制，要將弧度制和角度制加以比較，所以要有針對性地復習1度的角和周角的定義、圓心角度數的計算公式、圓的周長公式、弧長公式、扇形面積公式、周角和1度的角的定義等這些角度制相關知識點，為幫助學生理解弧度制做好鋪墊.

2.通過實驗操作法對1弧度的角這個概念進行動態生成的直觀教學

（1）任意畫一個圓（強調這個圓的半徑任意），并任意畫出一條半徑（如圖1-1）.

（2）在有彈性的細木棒（或竹簽）上截取和半徑等長的一段.

（設疑：截取的小木棒的長代表什么量？學生不難得出小木棒的長代表圓半徑.）

（3）用截取的小木棒（或竹簽）在圓周上截取一段等長的弧（圖1-2）.

（設疑：這條弧有什么特點？弧長是多少？回顧截弧的過程，學生會得出弧長等于半徑.）

（4）畫出截取的弧所對的圓心角（圖1-3）.

圖1-1圖1-2圖1-3圖1-4

（5）試描述該圓心角∠AOB的特點.

引導學生回顧以上操作過程，學生不難得出這個圓心角就是弧長等于半徑的弧所對的圓心角，這時候就可以水到渠成地明確給出1弧度的角的定義.

（6）猜想1弧度的角有多大.

畫出1弧度的圓心角所對的弦（圖1-4），并根據同一個圓心角所對的弦長小于弧長，啟發學生發現1弧度的圓心角所對的弦長小于半徑，在圓中弦長等于半徑的弧所對的圓心角等于60°，大弧對大角，可以得出1弧度的角小于60°.

（7）探討1弧度的角的大小與圓半徑的大小有沒有關系.

圖2任意畫一個同心圓，再重復以上操作（要求把角的起始邊與第一個圓里邊的角的起始邊重合），會發現兩個同心圓里邊畫出的角的終邊也會重合（圖2），這就初步驗證了1弧度的角的大小與圓半徑的大小沒有關系，在此基礎上明確由于圓弧長短與圓半徑之比不因為圓的大小而改變，所以弧度數也是一個與圓的半徑無關的量.

通過這樣動態生成的教學，學生輕輕松松就理解了1弧度的角的定義.

（8）把1度的角的概念深化，通過比較加深對1弧度的角這個概念的理解.

可以把1度的角的概念深化，周角的1/360定義為1度的角，周角的1/360，也可看成是把圓周等分成360份，每一份圓弧的長度是圓周長的1/360，這樣就是弧長等于圓周長的1/360的圓弧所對的圓心角就是1度的角.這樣兩個概念就比較接近，比較的意義也才會更明顯，更有利于促進學生理解掌握，在深化和提高了學生對角度制的理解程度的基礎上，不但有利于學生對弧度制進行同化理解和掌握，更優化了學生的認知結構.

圖33.巧設系列問題，啟發引導學生逐步推證公式

（1）如果已知弧長和圓半徑，如何計算圓心角的弧度數？

通過在圓周上多次截弧，作出2弧度的角、3弧度的角，啟發

引導學生由1弧度的角的定義可以初步得出圓心角的弧度數的計算

辦法為弧長除以半徑：=lr.

（2）弧長和半徑都是正值，而圓心角和弧卻有正有負，自然圓心角的弧度數也有正有負，如何正確地表示弧度數的計算公式？

弧長和半徑都是正值，自然它們的比值也是正值，這樣可以先計算出圓心角的弧度數的絕對值，然后再根據弧和角的正負加上相應的符號，就可以得出圓心角的弧度數，所以圓心角的弧度數的計算公式為：||=lr.

（3）整個圓周所對的圓心角的弧度數是多少？

整個圓周的弧長就是圓周長2πr，可以算出整個圓周所對的圓心角的弧度數為：=2πrr=2π.

（4）整個圓周所對的圓心角的度數是多少？由此可以得出什么結論？

整個圓周所對圓心角就是周角，即為360°，由此可以得出：2π=360°，進而得出π=180°.

（5）角度和弧度之間如何相互轉化？試寫出最簡表達式.

π=180°1弧度=180°π≈180°3.14≈57.3°=57°18′180°=π弧度1°=π180弧度≈3.14180弧度≈0.01745弧度.在學生完成以上推理演算后，明確角度和弧度之間的相互轉化公式為：度×π180×180π弧度，或 度×0.01745×57.3弧度.

雖然這個公式很重要，需要記憶，但只要記住π=180°這個關系式，學生就可以自己推導出來，所以各個公式的生成過程的教學是很重要的，注重生成過程的教學，才能從根本上促進學生學習能力的提高.

（6）如何由弧所對圓心角的弧度數、圓半徑正確地計算弧長？

啟發引導學生發現半徑、弧長、圓心角的弧度數這三個量之間的關系，由圓心角的弧度數的計算公式變形得到弧度制下的弧長公式為：l=r，借此啟發指導學生對所學知識要靈活應用，尤其是要重視對公式的變形應用.

4.例練結合深化理解，培養應用能力和技巧

（1）通過講解板演典型例題示范對公式的靈活應用

例題分析講解是數學課教學中必不可少的環節，通過講解板演典型例題示范對公式的靈活應用，并在例題學習過程中由圓面積公式、弧度數的計算公式、弧度制下的弧長公式推證出弧度制下的扇形面積公式，采取這種梯度式逐步推進的策略可分化教學難點.

（2）匹配練習培養應用能力

設置合理緊湊的教學環節，每個例題的講解結合相應的匹配練習，讓學生親自動手對公式加以運用，老師適時地給予學困生解題方法和技巧的指導點撥，促進課堂教學效率的提高.

5.通過小結將弧度制與角度制全面比較加深對弧度制的進一步理解

通過小結將弧度制與角度制如下表中進行全面比較，不但有利于學生對弧度制進行理解、掌握和同化，更優化了學生的認知結構.

數學中概念的建立、結論、公式、定理的總結過程，蘊藏著深刻的數學思維過程.像這樣進行這些知識生成過程的教學，不僅有利于培養學生的學習興趣，對提高學生的學習能力也有著十分重要的作用.因此我們應當改變那種害怕浪費課堂時間，片面追求提高學生方法應用能力的做法，應當結合教學內容，探索設計出利于學生參與認知的教學環節，把概念的形成過程、方法的探索過程、結論的推導過程、公式定理的歸納過程等充分暴露在學生面前，讓學生的學習過程成為自己探索和發現的過程，真正成為認知的主體，增強求知欲，從而提高學習能力.