三角函數中的探究式教學思考

一、引言

高中數學成績的高低直接影響學生是否能夠實現大學夢，我們經常聽說“學好數理化，走遍天下都不怕”、“得數學者得天下”，可見高中數學在高考中具有重要地位，對學生成長成才具有重要性.新課程改革要求，教學要以提高學生素質、體現學生主體地位為目標，為了滿足新課程改革的要求，教師應該讓學生參與到日常的課堂教學中，打破傳統的“教師為主導、學生為聽眾”的教學思想.三角函數是高中數學教材中的重點內容，也是每年高考數學試題必考的項目，而且通常是以分值較高的計算題或綜合分析題的形式出現.除此之外，三角函數經常還會和其他高考熱點函數（比如導函數）、平面向量等知識相結合出題，對于這種知識點較多、邏輯思維要求較高、計算量較大的綜合性題目，學生一般是存在“懼怕”心理的.所以，如何引導學生應用正確的知識點解答三角函數有關題目、如何使學生主動參與到高中數學教學中、如何調動學生之間相互交流和探討問題的積極性是高中數學教師必須思考的問題.筆者認為，像三角函數這種稍微有點難度、易于和其他知識點相結合的數學知識，應該采用探究式教學方法，通過教師和學生的團結協作共同克服這類難題，讓學生在參與教學的過程中將重點知識掌握.接下來，本文將列舉一個三角函數的題目，來展示一下探究式教學的具體過程和應注意的事項.

二、三角函數探究式教學過程——一個案例

假設函數f（x）=sin（3x+2φ）（- π<φ<0），y=f（x）圖像的一條對稱軸是直線x=π10.求解以下幾個問題：求φ的值；求函數y=f（x）的單增區間；證明直線10x-3y +c=0與函數y=f（x）的圖像不相切.

教師：首先請同學們認真讀一下題目，思考一下都將用到哪些數學知識，然后試著寫出解題提綱.（5分鐘時間思考）

教師：第一個問題是求出φ的值，需要用哪一個知識點呢？

學生：正弦函數的最值點處會出現對稱軸，可以把括號里的3x+2φ先看成一個整體.

教師：非常正確，下面讓我們共同求解一下φ的值.

解題過程：（1）由于函數圖像的對稱軸是x=π10，所以sin（3×π10+2φ）=±1.

所以3π10+2φ=kπ+ π2，k∈Z.已知- π<φ<0，所以φ=-2π5.

教師：第二問是求函數y=f（x）的單增區間，解答這一問題需要用到哪些數學知識呢？

學生：根據正弦函數的圖像可以知道正弦函數的單增區間是2kπ- π2，2kπ+ π2，還是先把括號里的3x+2φ看成一個整體.

教師：回答得很好，那么讓我們把這一問題共同解答出來吧.

解題過程：（2）根據（1）可知φ=-2π5，

所以y=sin3x-4π5.

2kπ- π2≤3x-4π5≤2kπ+ π2，k∈Z，

所以y=sin（3x-4π5）的單增區間為23kπ+π10，23kπ+13π30，k∈Z.

教師：好了，現在我們已經解答了兩個題目，還剩最后一個題目，那同學們看一下第三個題目，試想一下可以將10x-3y+c=0和y=f（x）聯立起來求出解的個數嗎，如果是一個解它們就是相切的，如果是兩個解它們就不是相切的.

學生：一次函數和三角函數聯立是求不出解的個數的.

教師：既然聯立求解的個數行不通，那么我們采取什么方法證明它們是相切還是不相切呢？

學生：運用幾何知識來證明.

教師：證明直線和曲線是否相切一般用到的幾何知識是什么呢？

學生：切線的斜率.對三角函數進行求導，導函數值就是三角函數的切線斜率.

教師：很好，同學們的數學知識掌握得非常扎實，下面我們來共同證明第三問.

解題過程：（3）對y=sin3x-4π5求導，得出y′= 3cos3x-4π5.

所以，曲線 y=f（x）的切線斜率取值范圍是[-3，3]，而直線10x-3y+c=0的斜率為103>3，所以直線10x-3y+c=0與函數y=sin3x-4π5的圖像不相切.

教師：同學們，上面那個例題我們已經解答完了，那么對上述例題我們可以改編一下，目的是讓同學們養成探究問題的精神，具體如下.

變式探究：（1）求解f（x）=tan2x+π3的單調增區間是什么；（2）f（x）=cos5x+2φ（0<φ<π），若 f（x）+f′（x）是奇函數，求 φ 的值.

三、三角函數采用探究式教學的經驗總結

近些年的高考試題越來越向考查學生獨立分析和解決問題的能力方面靠攏，尤其是高考數學試題的出題人比較喜歡跨章節的綜合性試題，而三角函數無論是在難度，還是在與其他數學知識相結合方面都具有很大的典型性，通過利用三角函數和導函數、平面向量相結合，可以考查學生的邏輯思維能力、探究問題的能力甚至是心理素質等.筆者認為，在今年的高考題中仍然會考三角函數的有關知識，甚至有可能增加考查的難度.為了使學生很好地掌握三角函數的基本知識，包括正弦余弦定理、面積公式、三角函數的圖像性質等，筆者認為應該采用探究式教學方法，長期使用這種方法可以讓學生養成“凡事都要問一個為什么”，即探究問題的習慣.