重視算理教學，提高計算教學的有效性

【摘要】計算作為小學數學教學的重要組成部分，不僅在數學思維的訓練上有重要意義，更是作為一種基本的公民技能要求學生能熟練掌握.不可否認，近年來孩子們對學習計算的熱情在降低，計算能力有一定的退步.這是為何？筆者認為，這與當前數學教學沒有足夠重視算理的教學有直接關系.要提高計算教學的有效性，必須重視對算理的教學，進一步培訓和彌補一線教師自身對算理知識的認識，強化教師們對算理的重視意識.

【關鍵詞】算理；算法；有效教學；計算教學

《小學數學教學策略》刊出了這樣一則材料，它在一定程度上反映了算理教學的現狀.

“小學數學專家組做了一個小學生數學學業質量評價體系的研究和構建，其中做了一個對三年級學生的數學學業質量大樣本的測試.在2009年所做的全國常模抽樣測試中隨機抽取了1664份樣本，學生在題目1和題目2的得分率分別是0.7010和0.4309，二者有顯著性差異.其中，題目2大量的錯誤是選擇了C.”

題目1：計算42×25.

題目2：如右圖，在34×12的豎式中，箭頭所指的這一步表示的是

（）.

A.10個34的和B.12個34的和

C.1個34的和D.2個34的和

專家組解釋，題目1的目的是考查學生是否掌握了兩位數乘兩位數的法則.題目2考查的是三年級學生是否理解兩位數乘兩位數豎式中每一步的含義.可以簡單理解為，題目1考查的是學生的計算技能，題目2考查學生對算理的理解水平.作者交代了為什么要設計這個題目，源于她對當前計算教學現狀的擔憂.在一次調研中，她發現學生能很快計算出正確的得數，于是追問了式子中第二層的含義.學生回答：“老師告訴的用1乘34，乘完向左錯一位，我也不知道為什么.”孩子的回答在一定程度上反映了當前計算教學的現狀：不明其理，機械計算.

在新課程標準（2011版）中關于算理教學有明確要求：“在基本技能的教學中，不僅要使學生掌握技能操作的程序和步驟，還要使學生理解程序和步驟的道理.例如，對于整數乘法計算，學生不僅要掌握如何進行計算，而且要知道相應的算理.”從字里行間可以清晰地知道，新課程標準（2011）對于算理教學的重視程度有所加強.

課堂教學中，存在著把算理和算法混淆，或者對算理知識的認識模糊不清的現狀.“算理是什么”成了部分數學老師本身的知識缺陷.于是，不明算理而教，教而不明的現象層出不窮.什么是算理？什么是算法？這兩者有著精密聯系，當然也有著各自的含義.簡單理解，算理就是為什么算的道理.比如“為什么這樣對位”，“為什么先乘除后加減”，“為什么要移動小數點”，“為什么計算前要先通分”，“為什么要去掉末尾的0”等等.算法指的是怎么計算，第一步做什么，第二步做什么，第三步做什么.算法是一個程序指令.如上調查中，學生說的“用1乘34，乘完向左錯一位再相加”就是執行算法.每一個正確的算法設計都基于科學的算理，沒有算理難以設計算法.如果說意義教學是孕育算理的土壤，那么算理就是算法的根.在計算教學實踐中，應加強理解算理的教學.明了算理，就能設計算法，達到算法多樣化，實現創新思維的培養.

一、明算理，創造算法，培養思維的創新能力

在一篇公開發表的文章里，有這樣一個案例.在混合運算的計算教學練習環節，老師出示了72-32×34的算式，簡單訂正后，突然有一名同學舉手了.

他說：“老師，我得48，但我不是這樣算的.”

老師很好奇，就問他：“你是怎么想的？”

生：我先做了72-32=40，然后我加了一個8，等于48.

這個老師很有耐心，他也不明就里，但是他想聽聽學生怎么回答.

生：老師，我先減掉一個32，然后再加上32的四分之一，所以相當于減了32的四分之三.這樣做，可以抵消尾數，算起來比較快.

學生應該知道常規算法，可他不滿足這樣的簡單練習，他在深度思考.他不僅熟悉分數乘法的意義，還熟悉四則運算的巧算.學生的數感很強，清楚算式的等值轉化，學生這種另類的算法基于他對運算意義的深刻理解，能說他錯嗎？

同樣的，課堂教學中往往會遇見一些讓人驚訝的教學片段.比如12-8，個位不夠減，按照現行算法應該從十位“退一當十”.小學生往往具備的是大減小的意識，于是先用8-2=6，再用10-6=4.在很長一段時間，面對這樣的算法，執教者啼笑皆非.直到有專家指出這種另類算法背后的算理，12-8=10+2-8=10-8+2=10-（8-2）=10-6=4，才承認這種算法的合理性.雖然這種算法看似不可思議，但是有科學的算理支撐，算法就是正確的.

二、明算理，提高計算的正確性，提高形成計算技能的效度

曹培英老師在專著《計算教學》中曾經指出： “循理入法，以理馭法.提高學生計算能力的內涵是，靠理解原理而不是靠牢記算法來保證正確性，靠巧思活用而不是靠不費思索的自動化來達到一定的熟練程度.”

以下列一組算式為例：

（1）12+25×3012+99×12 （2）120×45 102×45

（3）800÷2 800÷200（4）0.3×0.85.1÷0.3

（5）

從以上的算式對比中，不難發現，要正確區分運算順序，正確處理運算中0的計算方法，處理對位問題、小數點問題，如果依賴于記憶進行區分，是一件很困難的事.正確之道，應該是靠理解原理而非牢記算法.

三、明算理，追根溯源，有效構建知識體系

1.在整數、小數、分數的加減法計算中，明確算理就是明確“相同計數單位才能相加減”.在整數、小數的加減法里我們強調對位，在分數加減法里我們強調通分（或者擴分），

對位和通分是實現計算的方法而不是原理.我們以下列算式為例，不難實現整數、小數、分數加減法算理的溝通.

（1）3+2=56-4=2（以“一”為單位相加減）

（2）30+20=5060-40=20（以“十”為單位相加減）

（3）300+200=500600-400=200（以“百”為單位相加減）

（4）0.3+0.2=0.50.6-0.4=0.2（以“0.1”或者“十分之一”為單位相加減）

（5）2[]5+1[]5=3[]52[]5-1[]5=1[]5

2[]7+1[]8=16[]56+7[]56=23[]562[]7-1[]8=16[]56-7[]56=9[]56

（分別以15，156為單位相加減）

在一次小數加減法的教學觀摩中，老師循循善誘，和學生一起探討得出了小數點對齊的計算經驗，卻總是停留在“小數點對齊，也就保證了數位對齊；要想數位對齊，只要小數點對齊即可”的層面，如圖所示：相同數位對齊←→小數點對齊←→小數加減法.課后在對該老師詢問“為什么要相同數位對齊”時，老師摸摸頭腦，竟一時沒有答出來.很顯然，相同數位對齊僅僅是一個算法，提醒計算要對位.“相同數位對齊，就保證了計數單位相同，才可以加減”是背后的算理，如圖所示：小數加減法←→小數點對齊←→相同數位對齊←→相同計數單位相加減.也只有明了相同計數單位相加減的道理，學生才能反思錯位相加減的錯誤根源，才能有效避免錯位相加減的錯誤算法.小數點對齊，只是我們對算法的一個經驗概括.同樣的，通分的意義也在于保證分數的計數單位相同，如果在教學中，只是停留在計算異分母分數加減法，先通分再計算的層面，學生勢必會質疑：為什么一定要這樣做？

如果教學只停留在讓學生記住“對位和通分”，那么學生對“整數、小數、分數的加減法計算”的認識就很難從算理的深層次上溝通它們的共性，影響學生實現對該部分知識的有效連接和整合.如果明確相同計數單位才能相加減，也就明白了整數、小數、分數加減法的本質，從一個較深的層面溝通了這三部分知識的內在聯系.

2.乘法是加法的簡便運算，除法是乘法的逆運算.對于乘除法算理的溝通要緊扣位值制原理.以下例為例，我們可以一窺位值制原理對算法的支撐.

例：16.78÷2.3商7.2，余數是（）.

A.22B.2.2C.0.22

學生按照除數是整數的算法進行計算，轉變后得到“167.8÷23”，通過計算得到的余數是22，表示的是22個百分之一.而題目問的是原式“16.78÷2.3”的余數是多少，此時的答案應選擇C即0.22，很多學生是基于驗算的方法得到答案.更多的學生盲目選擇A或B，甚至并不清楚為什么A或B會錯誤.這是對位值制原理理解不夠深刻導致.同樣，文中開頭所提到的學生知道錯位相加，不明就里也是對位值制原理缺乏認識.

作為教師，一定要深刻認識到算理的理解對于學生學習計算實際是從根本上、源頭上解決問題.當然，強調算理不是忽視算法，最理想的狀態是學生明確算理，正確執行算法，既明理又熟法.矯枉不能過正，顧此不能失彼，爭取做一個明理的數學老師.

【參考文獻】

[1]曹培英.計算教學.南昌：江西教育出版社，1986.

[2]馬立平.小學數學的掌握和教學.上海：華東師范大學出版社，2011.

[3]張丹.小學數學教學策略.北京：北京師范大學出版社，2010.