數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題中的滲透

成功的教學(xué)不僅教會學(xué)生知識，而且要教會學(xué)生學(xué)習，即不僅要學(xué)生“學(xué)會”，而且要學(xué)生會學(xué)，要學(xué)生會獨立、主動地去獲取已有知識，會創(chuàng)造性地探索新的知識.要學(xué)生“會學(xué)”數(shù)學(xué)，就必須讓學(xué)生掌握基本數(shù)學(xué)思想和方法，會提出問題、思考問題.數(shù)學(xué)思想是指人們在研究數(shù)學(xué)過程中對其內(nèi)容、方法、結(jié)構(gòu)思維方式及其意義的基本看法和本質(zhì)的認識，是人們對數(shù)學(xué)的觀念系統(tǒng)的認識，具有本質(zhì)性、概括性.我們數(shù)學(xué)教師在傳授知識的同時，必須明確、恰當?shù)刂v解與滲透數(shù)學(xué)思想方法.下面我以我送課下鄉(xiāng)的課題“解直角三角形在觀測問題中的應(yīng)用”為例解析數(shù)學(xué)思想在應(yīng)用題中的滲透.

一、教學(xué)重點、難點

1.重點：應(yīng)用解直角三角形的有關(guān)知識解決觀測問題.

2.難點：能夠準確分析問題并將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，并體會其中蘊含的數(shù)學(xué)思想.

二、教學(xué)過程

1.比薩斜塔，情境導(dǎo)入，引導(dǎo)生疑

[設(shè)計說明：因為我那天背的包包正面正好是意大利著名的比薩斜塔，我就以此為引入，用幻燈片打出比薩斜塔的圖片，并由學(xué)生回答關(guān)于比薩斜塔的故事，然后引出問題.]

生：比薩斜塔原本是個建筑敗筆，卻因禍得福成為世界奇觀，后更因伽利略的自由落體試驗而蜚聲世界，成為旅游勝地.但隨著時間的推移，斜塔傾斜角度加大.

師：比薩斜塔，斜而不倒，54.5 m的塔高，現(xiàn)在塔身偏離“自然姿勢”已有5.2米.那同學(xué)們能根據(jù)老師剛剛提供的數(shù)據(jù)算出比薩斜塔的具體傾斜了多少度嗎？（在幻燈片比薩斜塔的圖片上取點構(gòu)成直角三角形，提問讓同學(xué)們思考實際問題怎樣轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.）

2.生活問題，實例分析，巧用變式

[設(shè)計說明：聯(lián)系實際，對問題情境的理解需要學(xué)生具有一定的空間想象能力，在審題過程中自然引出仰角、俯角概念，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)建模思想，幫助學(xué)生從實際問題中，抽象出數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決.例1、例2講解，先引導(dǎo)學(xué)生分析，然后借助多媒體逐步展示解題過程，規(guī)范書寫格式，強調(diào)解題完整性.變題分別是例1、例2交換題目條件與結(jié)論，情境不變的一種運用.以上問題的解題關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化實際問題為數(shù)學(xué)問題，著重是示意圖的畫法及讓學(xué)生說出題中每句話對應(yīng)圖中的哪條邊或哪個角（包括已知什么和求什么），進而利用解直角三角形知識解決問題，并在解題后及時加以歸納，挖掘圖形結(jié)構(gòu)及條件的特點.]

例1直升機在跨江大橋AB的上方P點處，此時飛機離地面的高度PO=450米，且A，B，O三點在一條直線上，測得大橋兩端的俯角分別為α=30°，β=45°，求大橋的長AB.

分析如圖所示，要求AB長，先設(shè)法求出邊AO與BO的長，然后相減即可，由條件可得∠PAO=30°，∠PBO=45°，又因為PO=450米，可選擇上述兩特殊角正切分別求得AO與BO.

解由題意得∠PAO=30°，∠PBO=45°.

∵POOA=tan30°，POOB=tan45°，∴OA=450tan30°=4503，OB=450tan45°=450.

∴AB=OA-OB=450（3-1）m.

答：大橋的長AB為450（3-1）米.

（就題目中出現(xiàn)的“俯角”先通過鏈接加以介紹，引導(dǎo)學(xué)生分析，強調(diào)解題完整，要寫“答”，注意單位，指明這些都是中考失分的重要因素.）

變題1直升機在長400米的跨江大橋AB的上方P點處，且A，B，O三點在一條直線上，在大橋的兩端測得飛機的仰角分別為30°和45 °，求飛機的高度PO.

請學(xué)生自行分析解決，并交流不同解法，引導(dǎo)學(xué)生注意方程思想的運用.

（本題應(yīng)注意方程思想的運用，可設(shè)所求PO長為x，由45度角的正切或直接由“等角對等邊”可求得OB也等于x，然后再由30度角的正切列出方程，即xx+400=33，熟練后也可以直接列3x=x+400，所以x=2003+200（m））.

變題2中考鏈接（2011·常德）青青草原上，灰太狼每天都想著如何抓羊，而且是屢敗屢試，永不言棄.一天，灰太狼在自家城堡頂部A處觀察羊羊們時，發(fā)現(xiàn)懶羊羊在大樹底下睡懶覺，此時，測得懶羊羊所在地B處的俯角為60°，然后下到城堡的C處，測得B處的俯角為30°.已知AC=40米，若灰太狼以5m/s的速度從城堡底部D處出發(fā)，幾秒鐘后能抓到懶羊羊？（結(jié)果精確到個位）

（本題估計學(xué)生會出現(xiàn)兩種不同解法，直接用例題1的方法或者是按變題1用方程思想，即設(shè)CD=x，則BD=3x，AD=x+40，再解兩個直角三角形便可以求出x，從而求出BD邊，再得出結(jié)果大約為7秒.）

[注重變題2的一題多解教學(xué)，從學(xué)生作業(yè)中展示不同解法，讓學(xué)生有更為廣闊的解題思路.]

例2熱氣球在高為200米的大樓AB左側(cè)P點處，從熱

氣球處測得大樓的頂部仰角為45°，測得大樓底部俯角為30°，求熱氣球與大樓之間的水平距離.

（列方程關(guān)鍵在于找出等量關(guān)系，本題可以以AB長為等量關(guān)系，充分利用好45度角的特點，即PD=AD，如果設(shè)PD=x，則AD=x，由30度角可表示BD=33x，從而可以列出方程x+33x=200，x=300-1003（m）；設(shè)BD=x，則AD=PD=200-x，3x=200-x，得x=1003-100，不能忘記求PD.）

根據(jù)以上解題過程，列舉題中三個示意圖，分析歸納這類問題的共同點.從而初步滲透數(shù)學(xué)建模及方程思想，并歸納出這類圖形的結(jié)構(gòu)特點.

變題2中考鏈接（2011·江漢區(qū)）五月石榴紅，枝頭鳥兒歌.一只小鳥從石榴樹上的A處沿直線飛到對面一房屋的頂部C處.從A處看房屋頂部C處的仰角為30°，看房屋底部D處的俯角為45°，石榴樹與該房屋之間的水平距離為 33米，求出小鳥飛行的距離AC和房屋的高度CD.

（本題估計絕大部分學(xué)生會按照例題2的方法，通過設(shè)未知數(shù)列方程從而求出答案：AC=6米，CD= 3+33 米.）

（將例題1、2及3個相關(guān)變題中的圖形列舉后加以分析，從每個問題所提供的條件特點，結(jié)合圖形結(jié)構(gòu)特征，可歸納出這類問題：（1）示意圖為有一個公共邊的兩個直角三角形，分布位置有兩種，位于公共邊同側(cè)或異側(cè)；（2）所給條件一般為兩角一邊，且邊一般為已知角的鄰邊或?qū)叄ǚ侵苯侨切涡边叄藭r選用的三角函數(shù)關(guān)系多為正切.）

3.例題加深，拓展延伸，留下思考

[本題是在上述問題基礎(chǔ)上稍加變化，加入這道中考題作為思考題，除了鞏固所學(xué)，更重要的是讓學(xué)生對中考題有一個正確認識，中考題不等于難題.]

思考（2011綦江縣）如圖，小剛同學(xué)在綦江南州廣場上觀測新華書店樓房墻上的電子屏幕CD，點A是小剛的眼睛，測得屏幕下端D處的仰角為30°，然后他正對屏幕方向前進了6米到達B處，又測得該屏幕上端C處的仰角為45°，延長AB與樓房垂直相交于點E，測得BE=21米，請你幫小剛求出該屏幕上端與下端之間的距離CD.（結(jié)果保留根號）

4.總結(jié)提高，方法小結(jié)，思想滲透

[本節(jié)課重點是讓學(xué)生掌握如何把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)建模思想必不可少，具體操作方法就是抽象出幾何圖形，就本課而言主要是兩個三角形的兩種不同組合圖形.此外在解直角三角形時，也順帶滲透了方程思想.]

（1）解題思想

從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求解.

解直角三角形用的數(shù)學(xué)思想有：數(shù)形結(jié)合思想、方程思想、轉(zhuǎn)化（化歸）思想.

（2）解題方法小結(jié)

A.把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的兩個方面（圖形轉(zhuǎn)化、條件轉(zhuǎn)化）.

B.把數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的處理方法（構(gòu)造直角三角形）.

（將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵要畫好示意圖，從實際問題抽象出數(shù)學(xué)模型，如果是單個直角三角形，則直接解直角三角形，如果是一般三角形，甚至是梯形或組合圖形，則通過作高將其轉(zhuǎn)化為直角形再求解，而解直角三角形的常用方法是結(jié)合方程進行計算）.