不等式恒成立、不等式有解、不等式無解三者的辨析

在不等式的綜合問題中，經常涉及與不等式恒成立、不等式有解、不等式無解等方面的內容，這種類型的問題既涉及不等式、函數、方程等知識的綜合，也涉及數形結合、等價轉換等方面的數學思想的靈活運用，同時也是培養學生邏輯推理等數學素養的絕佳的素材，因此，在歷屆高考命題中常常為命題專家所青睞.

如何解決這類問題呢？下面試圖從邏輯上的等價轉換的角度給出這類問題的一般解法.

1.不等式恒成立問題

這類問題可分兩種情況：

（1）當目標函數f（x）有對應最值時

（2）當目標函數f（x）無對應最值時

但如果此時能求出f（x）的值域為（m，n）（m

（1）求f（t）的值域G；

（2）若對于G的所有實數x，不等式-x2+2mx+2m≤1恒成立，求實數m的取值范圍.

解（1）利用f（t）的單調性可得f（t）的值域G=12，3.

（2）解法一：以g（x）=-x2+2mx+2m=-（x-m）2+m2+2m為目標函數，根據m和區間[12，3]關系，得

12≤m≤3，g（m）=m2+2m≤1，或m>3，g（3）=8m-9≤1，或m<12，g12=3m-14≤1.

解以上三個不等式組分別得m∈，或m∈，或m≤512，故所求m的范圍為-∞，512.

2.不等式無解問題

這類問題可轉換為第1種的問題.

（1）當目標函數f（x）有對應最值時

（2）當目標函數f（x）無對應最值時

但如果此時能求出f（x）的值域為（m，n）（m

3.不等式有解問題

以下以f（x）>a有解為例，來說明將問題進行等價轉換，先考慮f（x）>a無解時的情況，即f（x）≤a恒成立.

①當f（x）有最大值時， f（x）>a無解f（x）≤a恒成立f（x）max≤a，故f（x）>a有解f（x）max>a；

②當f（x）無最大值時， 如果此時能求出f（x）的值域為（m，n）（ma無解f（x）≤a恒成立n≤a，故f（x）>a有解n>a.

一般可得以下兩種情況

（1）當目標函數f（x）有對應最值時

（2）當目標函數f（x）無對應最值時

但如果此時能求出f（x）的值域為（m，n）（m

例2若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2+（a-2）x-2>0成立，則實數x的取值范圍是.

解分清主元和次元（即參數），令f（a）=ax2+（a-2）x-2=（x2+x）a-2x-2，則根據以上結論得g（a）max>0，由于g（a）是a∈[1，3]上的一條線段，它的最大值在a=1或a=3處取得，由g（a）的圖像知，g（3）>0或g（1）>0（也可按g（a）的單調性討論得x2+x≥0g（3）>0或x2+x<0g（1）>0），解得x∈{x|x>23或x<-1}.

對以上三類問題的冷思考：

（1）對所研究的不等式要做好等價化簡和參數分離工作，盡量使所構造的目標函數簡單（即盡可能不含參數），便于求最值或者求值域.

（2）如所研究的不等式的兩邊是基本初等函數，通過構造兩個函數，用圖像求解也是行之有效的方法.