淺析數(shù)學(xué)知識(shí)在建模中的綜合應(yīng)用

【摘要】先列舉了一個(gè)溫度變化問題來說明解決問題的方法應(yīng)該要選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí).然后列舉了一個(gè)彩票問題來說明解決一個(gè)問題不是單靠某一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)，而是要多種數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合應(yīng)用才能完成.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)知識(shí)；建模；綜合；應(yīng)用

不同的數(shù)學(xué)知識(shí)如何在數(shù)學(xué)建模中合理地使用，是能否建立和解決數(shù)學(xué)模型很關(guān)鍵的一步.那么怎樣才能做到合理而又恰當(dāng)?shù)厥褂脭?shù)學(xué)知識(shí)呢？

一、根據(jù)問題的實(shí)際選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)建模的一個(gè)主要特點(diǎn)是問題往往沒有唯一的答案，解決的方法也不止一種，因而可供建模使用的數(shù)學(xué)知識(shí)也就可能是多種的.但是絕不是任何一種數(shù)學(xué)知識(shí)都是可用的；如果用得不當(dāng)，不但不能解決問題，反而使問題復(fù)雜化，有時(shí)甚至得出荒謬的結(jié)果.這是我們需要慎重考慮和認(rèn)真解決的重大問題.為了把問題說清，我們用例子加以說明：

將室內(nèi)一支讀數(shù)為26攝氏度的溫度計(jì)放到室外.10分鐘后，溫度計(jì)的讀數(shù)為30攝氏度；又過了10分鐘，讀數(shù)為32攝氏度.推測(cè)一下室外的溫度.

分析將問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)符號(hào)，列出初始條件，并建立模型、求解：

解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是分析過程，如果不利用牛頓的冷卻定律，那么這個(gè)題目就解決不了，所以根據(jù)實(shí)際問題選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)知識(shí)是相當(dāng)關(guān)鍵的一步.

二、在可供選擇的數(shù)學(xué)知識(shí)中選擇最簡(jiǎn)單的

在數(shù)學(xué)建模中，同樣的一道題可以有多種方法求解，因此往往可以用多種不同的數(shù)學(xué)知識(shí).在可供選擇的多種數(shù)學(xué)方法中，當(dāng)然是所用數(shù)學(xué)知識(shí)越簡(jiǎn)單越好.因?yàn)槲覀兊哪Ｐ褪墙o人看的，是為解決實(shí)際問題而建立的.只有模型（包括計(jì)算）越簡(jiǎn)單才能被更多的人看懂和應(yīng)用，模型的應(yīng)用價(jià)值也就更高.在建模過程中切忌故弄玄虛，把本來可以簡(jiǎn)單處理的問題復(fù)雜化，以為用的數(shù)學(xué)知識(shí)越深?yuàn)W你的水平越高，不是這樣的.所用數(shù)學(xué)知識(shí)的深淺不是評(píng)價(jià)論文優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn).

三、綜合靈活地應(yīng)用各種數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)建模的題目主要是客觀實(shí)際經(jīng)過適當(dāng)簡(jiǎn)縮修改而成，而實(shí)際問題很少能夠一步到位，必須分幾步逐步解決才能完成，因而所用的數(shù)學(xué)知識(shí)不是一種而是多種，這就是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)問題.下面我們?cè)倥e一個(gè)例子.

近年來“彩票颶風(fēng)”席卷中華大地，主要有“傳統(tǒng)型”和“樂透型”兩種類型.

“傳統(tǒng)型”采用“10選6+1”方案：先從6組0～9號(hào)球中搖出6個(gè)基本號(hào)碼，每組搖出一個(gè)，然后從0～4號(hào)球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成中獎(jiǎng)號(hào)碼.投注者從0～9十個(gè)號(hào)碼中任選6個(gè)基本號(hào)碼（可重復(fù)），從0～4中選一個(gè)特別號(hào)碼，構(gòu)成一注，根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少及順序確定中獎(jiǎng)等級(jí).

“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案：先從01～33個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出7個(gè)基本號(hào)，再?gòu)氖Ｓ嗟?6個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼.投注者從01～33個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序.又如“36選6+1”的方案：先從01～36個(gè)號(hào)碼球中一個(gè)一個(gè)地?fù)u出6個(gè)基本號(hào)，再?gòu)氖Ｏ碌?0個(gè)號(hào)碼球中搖出一個(gè)特別號(hào)碼.從01～36個(gè)號(hào)碼中任選7個(gè)組成一注（不可重復(fù)），根據(jù)單注號(hào)碼與中獎(jiǎng)號(hào)碼相符的個(gè)數(shù)多少確定相應(yīng)的中獎(jiǎng)等級(jí)，不考慮號(hào)碼順序.

以上兩種類型的總獎(jiǎng)金比例一般為銷售總額的50%，投注者單注金額為2元，單注若已得到高級(jí)別的獎(jiǎng)就不再兼得低級(jí)別的獎(jiǎng).各高項(xiàng)獎(jiǎng)?lì)~的計(jì)算方法為：

[（當(dāng)期銷售總額 ×總獎(jiǎng)金比例） -低項(xiàng)獎(jiǎng)總額 ]×單項(xiàng)獎(jiǎng)比例

根據(jù)這些方案的具體情況，綜合分析各種獎(jiǎng)項(xiàng)出現(xiàn)的可能性、獎(jiǎng)項(xiàng)和獎(jiǎng)金額的設(shè)置以及對(duì)彩民的吸引力等因素評(píng)價(jià)各方案的合理性.

本題首先要用概率公式算出各種方案的各個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)獲獎(jiǎng)概率及獲獎(jiǎng)總概率.第二步考慮采用什么樣的方案才能吸引廣大彩民積極踴躍購(gòu)買彩票.即彩民如何看待獲獎(jiǎng)的機(jī)會(huì)大小和獎(jiǎng)金的多少，也就是彩民的心理狀態(tài).用什么函數(shù)來表達(dá)彩民的心理曲線呢？這就要看每個(gè)人的理解和判斷，沒有什么統(tǒng)一通用的標(biāo)準(zhǔn).有的人認(rèn)為收入較高，比較富裕的人買彩票多，有的人看法正好相反，認(rèn)為越窮的人買彩票越多，因?yàn)樗麄兏Ｍㄟ^賭一賭、搏一搏，碰碰運(yùn)氣來改變自己的地位，從而有可能一夜之間變成百萬富翁.當(dāng)然這是仁者見仁，智者見智，各有各的道理，但這都不影響比賽的成績(jī).無論何種解法，本題都要用多種數(shù)學(xué)知識(shí)才能完成.這就是綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)典型范例.綜合應(yīng)用還應(yīng)包含和計(jì)算機(jī)軟件的有機(jī)結(jié)合.

【參考文獻(xiàn)】

[1]楊啟帆.數(shù)學(xué)建模案例集.北京：高等教育出版社，2006.

[2]趙東方.數(shù)學(xué)模型與計(jì)算.武漢：科學(xué)出版社，2007.