不可忽視的判別式

【摘要】同學們在解決直線與圓錐曲線位置關系相關題目時，有時并不能注意判別式應當滿足的條件，而導致求解出錯，因此，在教學中應當提醒同學們在處理問題時，不可忽略判別式應當滿足的條件.

【關鍵詞】直線；圓錐曲線；方程；判別式

在判斷直線與圓錐曲線位置關系時，從代數角度講，可通過表示直線的方程代入二次曲線的方程消元后所得一元二次方程解的情況來判斷.設直線l的方程為Ax+By+C=0，圓錐曲線方程為f（x，y）=0，由Ax+By+C=0f（x，y）=0消元，如消y后得ax2+by+c=0，當a≠0時，設判別式Δ=b2-4ac，則

Δ>0直線l和圓錐曲線相交于不同的兩點；

Δ=0直線l和圓錐曲線有唯一一個公共點；

Δ<0直線l和圓錐曲線沒有公共點.

在多年的教學中發現，同學們在解決直線與圓錐曲線位置關系相關題目時，有時并不能注意判別式應當滿足的條件，而導致求解出錯，通過以下例子說明.

1.在平面直角坐標系xOy中，經過點（0，2）且斜率為k的直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q.設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量OP+OQ與AB垂直？如果存在，求出k值；如果不存在，請說明理由.

有些同學是按如下步驟求解的：

解由條件知直線l的方程為y=kx+2，代入橢圓方程得：

此題結果出錯的原因是忽略了方程①的判別式Δ=8k2-412+k2=4k2-2>0應成立.顯然k=-24時，Δ<0，不滿足直線l與橢圓x22+y2=1有兩個不同的交點P和Q，因此，并不存在常數k，使得向量OP+OQ與AB垂直.

2.已知一條拋物線和一個橢圓都經過點M（1，2），它們在x軸上具有相同的焦點F1，且兩者的對稱軸都是坐標軸，拋物線的頂點在坐標原點.

（1）求拋物線的方程和橢圓的方程；

（2）假設橢圓的另一個焦點是F2，經過F2的直線l與拋物線交于P，Q兩點，且滿足F2P=mF2Q，求實數m的取值范圍.

解（1）易求拋物線和橢圓的標準方程分別為：

此處結果出錯的原因，依然是沒有注意到方程y2-4ny+4=0的判別式Δ=16n2-16>0，即n2>1，從而導致結果出錯.正確的結果為：

（m+1）2m=4n2>4，∴（m-1）2m>0，

解得m>0且m≠1.∴m的取值范圍為（0，1）∪（1，+∞）.

以上兩例說明，有些同學處理此類問題時，只注意聯立方程，并結合韋達定理解決問題，但并沒有注意方程判別式應當滿足的條件.因此，在教學中應當提醒同學們在處理此類問題時，不可忽略判別式應當滿足的條件.