創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”情境訓(xùn)練學(xué)生的思維活動(dòng)

【摘要】數(shù)形結(jié)合是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中十分重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常見的數(shù)學(xué)方法；數(shù)形結(jié)合包含“坐標(biāo)法”、“以數(shù)輔形”、“以形助數(shù)”三個(gè)方面；通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容與具體形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化；有利于開拓學(xué)生解題思路，發(fā)展學(xué)生思維.

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合； 創(chuàng)設(shè)情境；思維活動(dòng)

早在一百多年前，恩格斯曾對數(shù)學(xué)下了一個(gè)經(jīng)典的定義“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”.而數(shù)與形是互相聯(lián)系，也是可以相互轉(zhuǎn)化的，把問題的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)問題，或者將圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題，是數(shù)學(xué)活動(dòng)中一種十分重要的思維策略，這種處理問題的思想就是數(shù)形結(jié)合的思想方法.這種通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題的思想，實(shí)質(zhì)上就是在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，實(shí)現(xiàn)抽象內(nèi)容與具體形象的聯(lián)系與轉(zhuǎn)化，即學(xué)生理性認(rèn)識過程是由表象的具體到思維的抽象，再由思維的抽象上升到思維的具體的過程.這正如著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”

數(shù)形結(jié)合是初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)中十分重要的數(shù)學(xué)思想，又是一種常見的數(shù)學(xué)方法，對此數(shù)學(xué)教育者在教學(xué)中經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，力圖在這種結(jié)合中，尋找到解題的思想與方法，使一些題目的解決簡潔明快，為研究和探求數(shù)學(xué)問題開辟了一條重要的途徑，同時(shí)又有利于開拓學(xué)生解題思路，發(fā)展學(xué)生思維.

“數(shù)形結(jié)合”的方法一般來說可分為以下三種：

（1）將幾何論證轉(zhuǎn)化為代數(shù)計(jì)算的“坐標(biāo)法（解析法）”；

（2）利用數(shù)（式）來研究形的“以數(shù)（式）輔形法”；

（3）利用形來研究數(shù)（式）的“以形助數(shù)（式）法”.

下面舉例分別加以說明：

一、坐標(biāo)法（解析法）

湘教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修2-1（理科）“2.5曲線與方程”介紹：借助坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法叫做坐標(biāo)法，即借助于坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點(diǎn)，把曲線看成滿

足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡.

如：（2004上海，文理11） 教材中“坐標(biāo)平面上的直線”與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是.

答案用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì).

二、以數(shù)（式）輔形法

以數(shù)輔形就是把圖形的性質(zhì)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系問題來研究，借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴(yán)密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的.

1.點(diǎn)A（1，2）與點(diǎn)B（3，5）到直線l的距離分別為2，3的直線有2條.

分析此題可引導(dǎo)學(xué)生利用圓與圓的關(guān)系及其公切線的條數(shù)的知識，作圖立即可知有2條.再利用圖形只改變AB的長度，再來判斷其條數(shù)，或改變距離再判斷，來鍛煉學(xué)生的思維活動(dòng)，達(dá)到舉一反三，開拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

2.（2012年高考·福建卷·文21）如圖，等邊三角形OAB的邊長為83，且其三個(gè)頂點(diǎn)均在拋物線E：x2=2py，（p>0）上.

（1）求拋物線E的方程；

（2）設(shè)動(dòng)直線L與拋物線E相切于點(diǎn)P，與直線y=-1相交于點(diǎn)Q.

證明以PQ為直徑的圓恒過y軸上某定點(diǎn).

分析本題主要考查拋物線的定義性質(zhì)、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等基本知識，考查運(yùn)用求解能力、推理論證能力、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、特殊與一般思想.

評析以數(shù)論形是解析幾何、坐標(biāo)系與參數(shù)方程側(cè)重的手段，圓錐曲線的各種性質(zhì)通過它的代數(shù)方程等數(shù)量關(guān)系來研究.在思考問題時(shí)，以敏銳的感知迅速提取有效信息，進(jìn)行“由此思彼”的聯(lián)想，果斷、簡潔地解決問題，進(jìn)而使思維的敏捷性得到培養(yǎng). 如2011年高考福建卷·理17、21選（2），文18； 2012年高考福建卷·理19、21選（2），文21.

三、以形助數(shù)法

以形助數(shù)就是把數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形的性質(zhì)來確定，借助形的生動(dòng)和直觀性來闡明數(shù)量之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)為目的.

如：求函數(shù)y=sinx2+cosx的值域.

一般的思路是：①把函數(shù)化為三角函數(shù)sin（x+φ）=2y1+y2（φ為輔助角）.②利用正弦函數(shù)的有界性解不等式2y1+y2≤1.③解不等式得原函數(shù)的值域-33，33.此題同學(xué)們?nèi)粲么鷶?shù)的知識計(jì)算求解，則不但花費(fèi)4～5分鐘而把學(xué)生的情緒搞得十分低下，倘若用如圖所示數(shù)形結(jié)合，則學(xué)生的自信心立即增強(qiáng)，思維活躍起來，從而思維能力得到開發(fā)與鍛煉.

分析由y=sinx2+cosx=sinx-0cosx-（-2），

其幾何意義為過點(diǎn)（sinx，cosx）與點(diǎn)（-2，0）的直線的斜率，即求單位圓上任意一點(diǎn)與點(diǎn)（-2，0）連線的斜率的取值范圍.

評析原本復(fù)雜枯燥的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楦挥兴季S彈性的幾何問題，解決了繁瑣計(jì)算，問題變得容易解決.用自己學(xué)過的知識，通過多方位觀察、縱橫聯(lián)系、積極探索，培養(yǎng)自己的探索性精神和創(chuàng)造性思維.

數(shù)形結(jié)合不僅是一種求解數(shù)學(xué)問題的常用思想方法，而且對于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力有著十分重要的作用.教師在教學(xué)中要積極挖掘教材中“數(shù)形結(jié)合”的例題與習(xí)題，創(chuàng)設(shè)“數(shù)形結(jié)合”的情境，有目的、有計(jì)劃地對學(xué)生實(shí)施思維訓(xùn)練，有利于提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，也有利于發(fā)展學(xué)生思維能力，從而全面提高學(xué)生的素質(zhì).