橢圓的定義給解題的啟示

【摘要】文章以兩道高考題為例，介紹了橢圓的定義在解這兩道題中所起的作用.

【關鍵詞】橢圓的定義；和為定值

在學習圓錐曲線的過程中，首先學習的是橢圓，所以對橢圓的定義都比較熟悉.問題在于隨著學習內容的增加，在解題過程中雖然遇到和為定值的條件，卻往往又想不到利用橢圓的定義來解題.在2012年高考數學試題中，有兩道關于和為定值的問題，都可以聯系到橢圓的定義，進而把問題解決.

題目（上海2012高考數學第14題）如圖，AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，

且AB+BD=AC+CD=2a，其中a，c為常數，則四面體ABCD的體積的最大值是.

因為此題是求四面體ABCD的體積的最大值，所以很容易想到首先要表示出四面體ABCD的體積.因為條件給出AD⊥BC，過點B作BE⊥AD，連接CE，所以VABCD=13·AD·S△BCE.求四面體ABCD的體積的最大值，即求△BCE面積的最大值.由條件知AD=2c，AB+BD=AC+CD=2a，顯然2a>2c，由此想到點B，C都在以A，D為焦點的橢圓上運動，而在△BCE中，BE的長即為點B到以A，D為焦點的橢圓的長軸的距離，從而BE長的最大值為橢圓的短半周長a2-c2，由此可以求出四面體ABCD的體積的最大值.解此題的關鍵在于由條件AD=2c，AB+BD=AC+CD=2a能夠聯想起橢圓的定義.因為此題給出的是一個四面體，其實點B，C是在以A，D為焦點的橢球面上運動，并非是一個平面圖形，所以聯想起橢圓的定義有一定的困難，若能夠聯想到橢圓的定義，則問題就容易解決了.無獨有偶，在江蘇2012年高考題中，也有一道證明和為定值的問題.

題目（江蘇2012高考數學第19題） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和e，32都在橢圓上，其中e為橢圓的離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）設A，B是橢圓上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1交于點P.

第二問的第二小題是求證PF1+PF2是定值.

思考：若PF1+PF2為定值，則點P一定在以F1，F2為焦點的橢圓上.

下面給出證明：由條件易求得橢圓的方程為x22+y2=1.

故PF1+PF2為定值323，問題得證.

此題若開始就由所證的和為定值聯想到橢圓的定義，則解題的目標就很明確.即只需證明點P的坐標滿足一橢圓的方程，按照上面的解題思路就可以完成，但是也需要一定的勇氣才能完成.

以上兩題都是關于和為定值的問題，在高中教材中，和為定值的問題與橢圓的定義密切相關，在解題過程中不妨利用橢圓的定義來試著求解.