一次函數在最佳經濟決策中的應用

我們在各項工作中進行經濟決策時，總是希望投入的費用最低、最少、最省，得到的效果最佳，利潤最大、最高、最優，這就是數學中的最小值和最大值.那么，一次函數知識在最佳經濟決策中的應用也極為廣泛.

筆者從2012年各地中考試卷中看到，運用一次函數的知識來作經濟決策的試題不斷出現，成為中考的熱點.這類試題明顯的特征是：取材貼近生活，與經濟發展、生產、生活實際密切相關.這反映出素質教育的要求，同時也反映出中考命題的走向.本文略舉幾例說明如下：

例1（河南省）某中學計劃購買A型和B型課桌凳共200套.經招標，購買一套A型課桌凳比購買一套B型課桌凳少用40元，且購買4套A型和5套B型課桌凳共需1820元.

（1）求購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需多少元？

（2）學校根據實際情況，要求購買這兩種課桌凳總費用不能超過40880元，并且購買A型課桌凳的數量不能超過B型課桌凳數量的23，求該校本次購買A型和B型課桌凳共有幾種方案？哪種方案的總費用最低？

解（1）設A型課桌凳每套x元，則B型課桌凳每套（x+40）元.據題意，得4x+5（x+40）=1820.解得x=180，x+40=220.

即購買一套A型課桌凳和一套B型課桌凳各需180元、220元.

（2）設購買A型課桌凳a套，則購買B型課桌凳（200-a）套.可列出不等式組a≤23（200-a），180a+220（200-a）≤40880，解得78≤a≤80.

由a取整數知，a為78，79，80.

∴共有3種方案.

設購買課桌凳總費用為y元，則y=180a+220（200-a）=-40a+44000.

由-40<0知，y隨a的增大而減小，

∴當a=80時，總費用最低，此時200-a=120.

即總費用最低的方案是：購買A型課桌凳80套，購買B型課桌凳120套.

例2（貴州省黔西南州）某工廠計劃生產A，B兩種產品共10件，其生產成本和利潤如下表：

（1）若工廠計劃獲利14萬元，問A，B兩種產品應分別生產多少件？

（2）若工廠計劃投入資金不多于44萬元，且獲利多于14萬元，問工廠有哪幾種生產方案？

（3）在（2）的條件下，哪種生產方案獲利最大？并求出最大利潤.

解（1）設生產A種產品x件，則生產B種產品（10-x）件，根據題意，得

x+3（10-x）=14，解得x=8.

則10-x=10-8=2.

∴應生產A種產品8件，則生產B種產品2件.

（2）設應生產A種產品x件，則生產B種產品為（10-x）件，根據題意，得2x+5（10-x）≤44，x+3（10-x）>14，解得2≤x<8.

∵x為整數，∴x=2，3，4，5，6，7.

∴可以采用6種方案，分別為：

（ⅰ）生產A種產品2件，B種產品8件；

（ⅱ）生產A種產品3件，B種產品7件；

（ⅲ）生產A種產品4件，B種產品6件；

（ⅳ）生產A種產品5件，B種產品5件；

（ⅴ）生產A種產品6件，B種產品4件；

（ⅵ）生產A種產品7件，B種產品3件.

（3）設生產A種產品x件時，獲得利潤為w萬元.

根據題意，得w=1·x+3（10-x）=-2x+30.

∵-2<0，

∴w隨x的增大而減小.

∴當x=2時，w最大，最大值為：-2×2+30=26.

因此，當生產A種產品2件，B種產品8件時，可獲得最大利潤26萬元.

通過上述幾個例題的解答中我們得到啟示：求解這類問題，首先要讀懂題意，往往這類題目敘述的文字比較多，只有仔細讀題，先弄清題意后，才能根據題意寫出兩個變量之間的一次函數關系式；其次要根據實際問題確定自變量的取值范圍；最后利用一次函數的增減性和自變量的取值范圍確定函數的取值.如例1是要求總費用最低，還有例2是要求獲得的利潤最大，就是要求函數的最大值.

運用一次函數做最佳經濟決策的試題，是將所學數學知識運用于解決實際問題的好題，這類試題的考查，有利于培養學生分析問題和解決問題的能力，因而，希望初三師生在數學中考復習時，能夠引起足夠的重視.