一道課本例題的拓展與利用

教材中，有不少典型的例題，對它們的探究，能激發學生學習數學的興趣，培養學生的探索精神，本文介紹的是對普通高中課程標準實驗教科書人教A版選修2-1第70頁例5的拓展探究與利用.

原題過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸.

關于此結論，橢圓、雙曲線也有類似性質，文[1]中已做詳細說明論證，這里不再進行說明.其逆命題“過拋物線焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，作直線DB平行于拋物線的對稱軸，交拋物線的準線于點D，則A，O，D三點在同一條直線上.”也是正確的.同樣橢圓、雙曲線也有類似性質，證明不難，此處略.

拓展

命題1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，則CF⊥DF.

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法二：（如圖2）連接AF并延長，與拋物線另一交點為B，連接DB，根據課本例題結果可知DB平行于x軸，因此DB∥AC，所以∠CAF+∠DBF=180°.

由拋物線定義知AC=AF，BD=BF，所以∠ACF=∠AFC，∠BDF=∠BFD.

所以∠ACF+∠BDF=∠AFC+∠BFD=90°.

所以∠CFD=90°，即CF⊥DF.

例1已知A為拋物線y2=2px（p>0）上任意一點，通過點A和拋物線頂點O的直線交拋物線的準線于點D，過點A作x軸的平行線，交拋物線的準線于點C，試問在平面上是否存在一個定點，使得以CD為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出這個點的坐標；若不存在，說明理由.

命題1的證明過程做小小的改動，就是例1的解題過程，這里不做解答.

類比探究：

筆者發現D點是拋物線上點A和頂點O連線OA與準線的交點，而橢圓與雙曲線都有兩個頂點，那么橢圓上任意一個點與它的兩個頂點的連線必與橢圓的準線有兩個不同的交點M1，M2，進一步探究發現，以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的與該準線對應的焦點.

命題2已知橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0），右準線l：x=a2c，A，B分別是橢圓的左、右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過橢圓的右焦點F2（c，0）.

證明由已知可得A（-a，0），B（a，0），F2（c，0），則

命題3已知雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），右準線l：x=a2c，A，B分別是雙曲線的左、右頂點，點P（x1，y1）是雙曲線上異于左、右頂點的一個動點，直線PA，PB分別與l交于點M1，M2，則以M1M2為直徑的圓恒過雙曲線的右焦點F2（c，0）.

例2已知離心率為2的雙曲線C與橢圓x29+y25=1有相同的焦點.

（Ⅰ）求出雙曲線C的方程；

（Ⅱ） 直線l：x=1，A是雙曲線C的左頂點，B是曲線C的右頂點，點P（x1，y1）是橢圓上異于左、右頂點的一個動點，直線PA與l交于點M1，直線PB與l交于點M2，問x軸上是否存在定點D，使得對變化的點P，以M1M2為直徑的圓恒過點D？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由.

解（Ⅰ） 雙曲線C的方程是x22-y22=1（過程略）.

（Ⅱ） 由已知可得A（-2，0），B（2，0），F2（2，0），則

假設在x軸上存在定點D（t，0），使得以M1M2為直徑的圓恒過點D，則

通過對這道課本例題的拓展與探究，得到了一個圓錐曲線上一點與頂點連線及準線的一個性質.如果教師平時能多關注教材，注重例題的二次開發，并將此引入課堂，對培養學生探究能力、提高教師的專業素質必能起到積極的促進作用.

【參考文獻】

林志森.一道課本例題的探究.福建中學數學，2013（3）：19-21.