數學思想在不等式（組）中的運用

【摘要】數學思想是數學的精髓，是連接各類知識的紐帶.在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生的數學素養.

【關鍵詞】數學思想；教學研究

數學思想是數學的精髓，是連接各類知識的紐帶.在教學過程中滲透數學思想方法，能提高教學效果，提高學生的數學素養.

1.數形結合思想

數形結合思想是數學學習中經常用到的思想方法，它要求我們具有一定的觀察能力和分析能力，能夠做到由數思形，由形思數，將數形合二為一，從而使問題得以迅速解決.在數軸上表示數是數形結合的具體體現.本章中應用數形結合思想尤為突出，求不等式的解集的過程是代數的內容，用數軸表示不等式的解集的過程，是將代數問題幾何化的過程，在解不等式組的過程中是在數軸上分別表示各不等式的解集，并找出公共部分都是數形結合的應用.

例1已知關于x的不等式組x-b≤0

2x-4≥5的整數解共有3個，則b的取值范圍是.

分析化簡原不等式組，得x≤b，

x≥4.5，將其中的x≥4.5表示在數軸上如圖，b的位置應結合題中的已知條件，原不等式組有3個整數解，可知原不等式組的整數解為5，6，7，所以b的取值范圍是7≤b<8.

答案7≤b<8.

點撥將數與形結合起來，方便于問題的解決.

2.轉化思想

學習一元一次不等式和一元一次不等式組時，注意轉化思想的運用，明確轉化的目標是將一元一次不等式化成最簡形式，轉化的依據是不等式的性質.

例2求同時滿足不等式6x-2≥3x-4和x[]4-1<2-x[]2的整數x的值.

解由已知，得6x-2≥3x-4，①

x[]4-1<2-x[]2，②

解不等式①，得x≥-2[]3.解不等式②，得x<4.

所以不等式組的解集為-2[]3≤x<4，其中的整數解為0，1，2，3.

所以同時滿足不等式6x-2≥3x-4和x[]4-1<2-x[]2

的整數x的值為0，1，2，3.

點撥根據題意建立不等式組，通過轉化求出不等式組的解集，再確定其中的整數解，轉化過程起了重要作用.

3.類比思想

類比思想是指在不同對象之間，或者在事物和事物之間，根據它們某些方面（如特征、屬性、關系）的相似之處進行比較，通過類比可以發現不同知識間的相同點和不同點，進而加深對新知識的理解和運用.如不等式的性質和等式的性質、不等式的解和方程的解進行類比等.

例3已知x=1是不等式組

3x-5[]2≤x-2a，

3（x-a）<4（x+2）-5

的解，求a的取值范圍.

分析根據不等式組解的意義，類比方程解的意義，直接將x=1代入不等式組中.

解因為x=1是原不等式組的解，所以-1≤1-2a，①

3（1-a）<12-5.②

由①，得a≤1.由②，得a>-4[]3.所以a的取值范圍是-4[]3

點撥通過類比可以發現新舊知識間的不同點和相同點，有助于利用已有知識去認識并加深理解新知識.

4.分類討論思想

根據所給的條件進行分情況討論是分類思想的應用，本章中在解不等式時，如果不能確定未知數的系數，往往需要運用分類討論思想.

例4已知不等式x+5[]2-1>ax+2[]2的解集是x>1[]2，求a的取值范圍.

分析首先將已知不等式化簡，再根據a的取值進行分類討論.

解去分母，得x+5-2>ax+2.

移項、合并同類項，得（1-a）x>-1.

當1-a=0時，x為全體實數.而與不等式的解集為x>1[]2，矛盾；當1-a<0時，x<1[]a-1，而與不等式的解集為x>1[]2，矛盾；當1-a>0時，解為x>1[]a-1，而不等式的解集為x>1[]2，故1[]a-1=1[]2.所以a=3.

因此，當a=3時，原不等式的解集是x>1[]2.

因此，在日常教學中，要以數學知識為載體，將數學思想方法有機地滲透入教學計劃和教學內容之中，從而在知識的發生和運用過程中貫徹數學思想方法，形成數學知識、方法和思想融合成的整體.數學思想是數學的靈魂，是連接各類知識的紐帶.

【參考文獻】

張奠宙，宋乃慶.數學教育概論.高等教育出版社（2009年1月第二版）.