二次曲線中的化簡技巧

【摘要】 二次曲線方程的化簡是二次曲線理論的重要內容，是解析幾何知識內容教學的一個難點.二次曲線是中學平面解析幾何的重點內容之一，是高考的一個熱點，也是教師的教和學生的學的一大難點.本文就以一題多解的形式去探索化簡技巧，力爭尋求一般性解題規律，為高中學生學習和教師教學提供參考.

【關鍵詞】 二次曲線；化簡；多解

定義在平面上，由F（x，y）=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0（*）所表示的曲線，叫做二次曲線[1].

試題1已知動圓G過點F3[]2，0，且與直線l：x=-3[]2相切，動圓圓心G的軌跡為曲線E，曲線E上的兩個動點A（x1，y1）和B（x2，y2）.（1）求曲線E的方程；（2）已知OA·OB=-9（O為坐標原點），探究直線AB是否恒過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過，請說明理由.

解（1）過程略，曲線E的方程為y2=6x.

（2） 當直線AB不垂直x軸時，設直線AB方程為y=kx+b（k≠0）.

解法1由y=kx+b，

另外，在設定直線方程時，如果我們不去討論其斜率是否存在，可有另外一種形式的直線方程.即設直線AB方程為x=my+n.

由x=my+ny2=6x聯立消去x得y2-6my-6n=0.y1+y2=6m，y1y2=-6n.OA·OB=x1x2+y1y2=y1y262+y1y2=-9.此時，如果x1+x2=根據拋物線標準方程的形式進行y和x的替換，我們遵循次數低的原則.

試題2過點（1，0）的直線l與中心在原點、焦點在x軸上且離心率為22的橢圓C相交于A、B兩點，直線y=12x過線段AB的中點，同時橢圓C上存在一點與右焦點關于直線l對稱，試求直線l與橢圓C的方程.

若k=0，則l的方程為y=0，焦點F（c，0），關于直線l的對稱點就是F點本身，不能在橢圓C上，所以k=0舍去，從而k=-1，直線l的方程為y=-（x-1），即y=-x+1，以下同解法一.

解法三假設直線l的方程為x=my+1.將l的方程代入C的方程，得（m2+2）y2+2my+1-2b2=0，則y1+y2=-2m2+m2，x1+x2=4m2+2.

又因為直線l：y=12x過AB的中點x1+x22，y1+y22，則-mm2+2=12·2m2+2，解得m=-1，從而直線l的方程為y=-x+1.

從以上的解法中可以看出，直線方程的假設會減少斜率存在性的討論，也會減少運算量.