淺談復數域下圓與三角函數的關系

【摘要】本文從復數域的角度出發，展示圓與三角函數之間的關系，體現出數學的和諧與統一之美.

【關鍵詞】圓； 三角函數；歐拉定理

一、引言

古希臘畢達哥拉斯學派認為：“一切平面圖形中最美的是圓形.”17世紀法國數學家笛卡爾引入坐標系的觀念，創立了解析幾何，將幾何問題轉化為代數問題來研究.在此思想下，坐標平面上以（x1，y1）為圓心，以R為半徑的圓的方程為：

（x-x1）2+（y-y1）2=R2.

這是一個簡潔、勻稱、美麗的方程，圓的高度對稱性得到了充分的體現.

二、圓與三角函數

在所有圓中，單位圓作為一種特殊的圓，即x2+y2=1，有其特殊的功能，猶如原子蘊藏著巨大的能量.

三角函數與單位圓的關系密切.例如：

① 三角形的內角和等于單位圓的面積π；

② 三角形的外角和等于單位圓的周長2π；

③ 以直徑為一邊的圓內接三角形是直角三角形.

這樣關系的背后隱藏著更深刻的道理.我們把三角函數用單位圓中的有向線段來定義，如圖.

則各種關系就更直接了.

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