對變異的理解的研究綜述

【摘要】本文通過文獻綜述的方式介紹關于變異的相關研究，總結了變異概念的成分、對變異的考慮、對變異的推理以及它們對教與學和研究的啟示的相關內容.其中的許多成果對我國的統計教育都具有很重要的參考價值.

【關鍵詞】變異的成分；對變異的考慮；對變異的推理

一、引言

關于變異的教學研究基本是從Moore提出的“變異是統計思想的核心要素”以后開始的，當Wild Pfannkuch （1999） 提出對變異的考慮是統計思維的一個基礎時，變異的重要性開始慢慢得到關注.對變異的理解對學生統計思維的發展起了巨大作用，許多研究都證實了這一觀點（例如 Meletiou-Mavrotheris Lee， 2002； Reading Reid，2005； Reading Shaugnessy， 2004； Torok Watson， 2000）.“變異”既指不確定事物由于隨機因素引起的特有的變異性（variability），又指對這種變異性進一步的描述和度量（variation）（張潔銘，2006）.變異是統計的一個基礎概念，統計被描述為“關于變異的科學” （e.g.， MacGillivray ， 2004）.

二、變異的成分（Components of Variation）

總體各單位的特征表現存在著差異，這些差異并不是由某種特定的原因事先給定的，統計上把總體各單位由于隨機因素引起的某一標志表現的差異稱為變異（黃良文，2000）.

Reading Reid （2010）通過總結關于統計推理、思考和素養的第三屆國際研究論壇、Garfield Ben-Zvi （2005，2008）、Reading Shaughnessy （2004）以及Watson， Callingham Kelly（ 2007）等人的觀點，提出了變異的成分有：

Ⅰ.發展對變異性的直覺觀點；Ⅱ.描述和表征變異性；Ⅲ.利用變異性作比較；Ⅳ.在特定類型的分布中辨別變異性；Ⅴ.在模擬模型中辨別變異性的模式；Ⅵ.利用變異性預測任意的樣本或者結果；Ⅶ.對變異性的考慮作為統計思維的一部分；Ⅷ.識別變異的來源；Ⅸ.解釋觀察到的變異的期望值.

三、對變異的考慮（Consideration of Variation）

（一）在統計教與學中對變異的考慮

Wild Pfannkuch （1999）在訪談完統計學家和學生之后，想到對變異的考慮可以提供一個合適的基礎來擴展對變異的理解，提出了考慮變異的四個部分：注意和承認，測量和建模，解釋和處理，調查策略.

注意和承認變異——認識到變異的無處不在（即變異的存在性）以及在討論中記錄這些變異的需要.

為預測、解釋或者控制變異的目的對變異進行測量和建模——從數據中總結變異（包括數值的或者圖形的）以及利用這些總結來表現變異的影響.

解釋和處理——尋找引起變異的原因，在設計和抽樣中考慮變異的影響.

利用與變異相關的調查策略——關注變異本身屬性的正式程序.

（二）評估學生對變異的考慮

Reid Reading （2008）提出了學生對變異的考慮的四個水平：

沒有考慮到變異的水平，所有這一水平的描述都是類似的，沒有認識到任何的變異.

對變異的考慮很少的水平，認識到變異的存在，但通常只限制于變異的一個基本描述（例如，范圍），或這種描述是錯誤的或缺乏的.這些都表示學生認識到變異的存在，但缺少必需的語言或者工具去適當地描述或者利用變異.

對變異的考慮發展中的水平，在這一水平中，所有任務的反應都提供了一個更加細致和準確的描述，至少包含一個變異的來源，包含了組內或者組與組之間的變異.

對變異的考慮的強健水平，在這一水平，強健的反應把組內與組與組之間的變異聯系起來，對變異有一個更加直觀的分析.

四、對變異的推理（Reasoning about Variation）

關于變異的文獻提出關于變異推理的認知發展框架包括：承認和描述變異，利用變異支持推斷，解釋變異的來源以及把變異和其他概念聯系起來.

承認和描述變異，（與成分Ⅰ和Ⅱ聯系起來）是學生在處理統計任務時最重要的第一步.Reading （2004）利用SOLO分類法提出了描述變異的認知水平的層次結構.該層次結構中有兩個獨立的U-M-R發展循環.第一個循環利用大量的與定性特征相關反應來刻畫變異的定性特征，第二個循環利用與定量特征相關的反應來刻畫變異的定量特征.Reading Shaughnessy （2004）在該結構增加了根據數據的特征來辨別認知水平，特別是“極端值”（即包括數據的范圍或分散度）和“中間值”（即在數據范圍內發生了什么）.

利用變異支持推斷，例如，比較和預測（分別對應Ⅲ和Ⅳ）是對變異的推理的重要方面之一.還有別的成分，例如承認、描述、識別和解釋期望值（Ⅰ，Ⅱ，Ⅷ，Ⅸ）.利用變異支持推斷不是單純的包含變異的一個成分，而是變異的幾個成分.

解釋變異的來源（成分Ⅷ），Reading Shaughnessy （2004）提出的一個與這個描述變異的層次結構是平行的層次結構，用來描述解釋引起變異的認知水平.在最低的認知水平，提供了很多無關的變異的來源；在更加復雜的認知水平上，變異的相關解釋逐漸被提出來.Reading Shaughnessy的層次結構與SOLO分類法是類似的.

變異和其他概念聯系起來，例如，當變異的概念被整理過后，期望值（成分Ⅸ）就成為可能了.Watson， Callingham Kelly （2007）提出了理解變異和期望值的發展路徑，它包括六個水平：特殊的（idiosyncratic）、非正式的（informal）、不一致的（inconsistent）、一致的（consistent）、分布的（distributional）和比較分布的（comparative distributional）.在前三個水平，變異和期望值是分開的，直到第四個水平一致的（consistent）這兩個概念才被慢慢地聯系起來.

五、對教學和研究的啟示

對變異的推理的認知發展框架，可以用于課程、學習活動和評估的設計，探究學生對其他的統計概念的推理.第一，內容豐富的課程設計是促進學習的關鍵，認知發展框架對課程設計中內容的順序和呈現是非常有用的.第二，認知框架可以提供很多有用的信息來幫助學習活動的設計，支持學生的學習.第三，認知框架可以使用來設計評估任務，判斷一個評估任務是否起到表征推理認知的作用.最后，利用認知框架描述學生對變異的推理，探究學生關于其他的統計概念的推理.

【參考文獻】

[1]Garfield，J.B.， Ben-Zvi，D.，Developing Students’ Statistical Reasoning：Connecting Research and Teaching Practice[M].The Netherlands：Springer，2008.

[2]Reading，C.， Reid，J，Reasoning about variation：rethinking theoretical frameworks to inform practice，Data and context in statistics education：Towards an evidence-based society，Proceedings of the Eighth International Conference on Teaching Statistics （ICOTS8，July，2010）[R].Ljubljana，Slovenia，2010.

[3]Watson，J. M.，Callingham，R. A. Kelly，B. A. ，Students appreciation of expectation and variation as a foundation for statistical understanding[J].Mathematical Thinking and Learning，9（2），（83-130），2007.

[4]黃良文.統計學原理[M].北京：中國統計出版社，2000.

[5]張潔銘.學生對概率統計中變異性的認識[D].華東師范大學，2006.