注重規律巧妙演算排列與組合

排列與組合在高中知識當中屬于重點和難點，對學生的能力要求比較高，也是學生最頭痛的一部分.今年的新考綱出來了，明年的高考題型要按照新教材的內容來出題.雖然排列組合是B級（理解）要求，但是仍然是高考的重點內容之一.所以學生能否學好排列組合也是影響考分的一個重要因素.做好排列與組合題，我認為要做到兩句話“找出規律，用對方法”. 規律就是事物運動過程中固有的本質的必然的聯系.按規律辦事必然事半功倍.

最近兩年，全國多數地市的高考都有找規律的題目，人們開始逐漸重視這一類數學題，研究發現數學規律題的解題思想，不但能夠提高學生的考試成績，而且更有助于創新型人才的培養，而排列和組合類型題就成了出卷老師筆下的“寵兒”.這類題目主要考查學生的綜合分析問題和解決問題的能力.但究竟怎樣才能把這種題目做好，是一個值得探究的問題.下面就解決排列和組合問題作一個初步的探究，介紹一些常用的方法.

一、解題的一般過程

1.認真審題弄清要做什么事.

2.怎樣做才能完成所要做的事，即采取分步還是分類，或是分步與分類同時進行，確定分多少步及多少類.

3.確定每一步或每一類是排列問題（有序）還是組合（無序）問題，元素總數是多少及取出多少個元素.

4.解決排列組合綜合性問題，往往類與步交叉，因此必須掌握一些常用的解題策略.

二、基本解題方法

法1相鄰問題捆綁法

例16人站成一排 ，其中甲乙相鄰且丙丁相鄰， 共有多少種不同的排法？

解析可先將甲乙兩元素捆綁成整體并看成一個復合元素，同時丙丁也看成一個復合元素，再與其他元素進行排列，同時對相鄰元素內部進行自排.由分步計數原理可得共有A22A22A44=96種不同的排法.

法2不相鄰問題插空法

例2七人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同的排法種數是（）.

A.1440種B.3600種

C.4820種D.4800種

解析除甲乙外，其余5個排列數為A55種，再用甲乙去插6個空位有A26種，不同的排法種數是A55A26=3600種，選B.

法3定序問題倍縮法

例37人排隊，其中甲乙丙3人順序相對位置不變共有多少不同的排法？

解析對于某幾個元素順序一定的排列問題，可先把這幾個元素與其他

元素一起進行排列，然后用總排列數除以這幾個元素之間的全排列數，則共有不同排法種數是：A77/A33.

法4定位問題優先法

例41名老師和4名獲獎同學排成一排照相留念，若老師不站兩端則不同的排法有多少種？

解析老師在中間三個位置上選一個有A13種，4名同學在其余4個位置上有A44種方法；所以共有A13A44=72種.

法5重排問題分步求冪法

例5有5封信投入4個郵箱，共有多少種不同的投法？

解析完成此事共分六步：把第一封信投入郵箱有4種投法，把第二封信投入箱也有4種投法，依此類推，由分步計數原理共有4×4×4×4×4=45種不同的排法.

法6多排問題單排法

例68個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素排在后排，有多少種不同排法？

解析看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有A24種，某1個元素排在后半段的四個位置中選一個有A14種，其余5個元素任排5個位置上有A55種，故共有A14A24A55=5760種排法.

法7選排問題先選后排法

例7四個不同球放入編號為1，2，3，4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法有多少種？

解析“先取”四個球中兩個為一組，另兩組各一個球的方法有C24種，“再排”在四個盒中每次排3個有A34種，故共有C24A34=144種.

法8環排問題線排策略

例88人圍桌而坐，共有多少種坐法？

解析圍桌而坐與坐成一排的不同點在于，坐成圓形沒有首尾之分，所以固定一人，并從此位置把圓形展成直線，其余7人共有（8-1）！種排法即7！.

法9平均分組法

例96本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有多少種分法？

解析分三步取書得C26C24C22種方法，但這里出現重復計數的現象，不妨記6本為ABCDEF，若第一步取AB，第二步取CD，第三步取EF，該分法記為（AB，CD，EF），則C26C24C22中還有（AB，EF，CD），（CD，AB，EF），（CD，EF，AB），（EF，CD，AB），（EF，AB，CD）共有A33種取法，而這些分法僅是（AB，CD，EF）一種分法，故共有C26C24C22/A33種分法.

法10正難則反法，特別是“至多”“至少”

例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機各一臺，則不同的取法共有（）.

A.140種B.80種C.70種D.35種

解析逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機，故不同的取法共有C39-C34-C35=70種，選C.

相對于以上的比較典型的例題，都有對應的方法可以解決，學生多練習多記憶，能更好地解決相關性的題目.在絕大多數的類型題中，不管方法怎樣，都離不開一個“有序化”，如果沒有這個順序的引導，沒有這個規律的聯系，相信在雜亂無章的狀況下進行種類的判斷往往會出現“重復”和“遺漏”.

以上是我在排列和組合當中參考相關前輩學者的書籍，結合自己教學當中相關的經驗和思考總結出來的一些常規題型的解題方法，給自己也希望能給需要的人一些幫助.